圆的对称性
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28.1.2-2
圆的对称性
***学
你能破镜重圆吗？
O
圆除了是旋转对称图形外，还是轴对称图形
提问：圆是什么对称图形？
O
A
C
B
N
M
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
O
A
C
B
N
M
D
或： 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
M
O
A
C
B
N
垂直于某某的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理：
M
O
A
C
B
N
①直线MN过圆心O ② MN⊥AB
③AC=BC
④AM=BM
⑤AN=BN
垂径定理：
⌒
⌒
⌒
⌒
.
.
.
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
O
O
O
E
E
E
下列图形中,AE=BE吗?为什么?
如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？
①直线MN过圆心O ② MN⊥AB
垂径定理：
M
O
A
C
B
N
①直线MN过圆心③ AC=BC
探索一：
？
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于某某，并且平分弦所对的两条弧。
推论
O
A
B
M
N
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。
推论 (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于某某，并且平分弦所对的两条弧。
C
D
M
O
A
C
B
N
② MN⊥AB ③ AC=BC
探索二：
？
推论 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
M
O
A
C
B
N
探索三：
？
推论： (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于某某，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及其推论的实质是把(1)直线MN过圆心;
(2)直线MN垂直AB; (3)直线MN平分AB;
(4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB
中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个
结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作
进一步的推导,同学们课下不妨试一试.
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
C
变式三：若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式？
变式一：在⊙O中，直径为10cm，弦AB
的长为8cm，求圆心O到AB的距离。
变式二：在⊙O中，直径为10cm，圆心O
到AB的距离为3cm，求弦AB的长。
C
D
A
B
E
例2：平分已知弧AB
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点。
C
D
A
B
E
F
G
变式一： 求弧AB的四等分点。
m
n
C
D
A
B
M
T
E
F
G
H
N
P
错在哪里？
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。
●作AB的垂直平分线CD。
●作AT．BT的垂直
平分线EF．GH
C
A
B
E
变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？
m
n
D
C
A
B
E
m
n
O
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
XXXXX
O
作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。
破镜重圆
A
B
C
m
n
XXXXX
O
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
作图依据：
1、 已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，
MN是AB的垂直平分线。
求证：MN垂直平分CD。
N
B
圆内平行弦的垂直平分线是互相重合的。
试一试你的能力
M
O
B
N
C
D
证明：
∵ MN是AB的垂直平分线
∴ MN过圆心是直径
∴MN⊥CD
∴ MN平分CD
A
∵AB∥CD，MN⊥AB
∴MN垂直平分CD
2、判断下列语句是否正确
⑴垂直于某某的直径平分这条弦 （ ）
⑵垂直于某某的直线必平分弦对的两条弧（ ）
⑶平分弦的直径垂直于这条弦（ ）
⑷弦的垂直平分线是圆的直径（ ）
⑸平分弧的直径必平分弧对的弦（ ）
√
√
XXXXX
XXXXX
XXXXX
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论,并且运用推论等分弧。
●要分清垂径定理的推论的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论. 这是正确理解应用的关键;
●例2是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想
在这里的运用.
习题P42 3、5。
祝你成功！
思考题
已知点P是半径为5的⊙O内一定点，
且OP=4,则过点P的所有弦中，弦长
可能取的整数值为
再见
谢 谢 指 导 ！[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]
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