圆的一般方程（薛某某）

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圆的一般方程

薛某某

复习导入

1．圆心为 C(a，b)，半径为 r (r＞0) 的圆的标准方程

　 是什么？

　　　　　(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

2．回答下列问题

（1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 ．

（2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是 ，

　　半径是 ．

探究一

（1）请将圆心在(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程展开．

（2）展开后得到的方程有几个末知数？最高次是几

次？这个方程是几元几次方程？

（3）如果令－2a＝D，－2 b＝E，a2＋b2－r2＝F，

这个方程是什么形式？

（4）任意一个圆的方程都可表示为

x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0

　　的形式吗？

探究二

（1）请举出几个形式为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0

　　 的方程．

（2）以下方程是圆的方程吗？

　　 x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0；

　　 x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0；

　 x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．

探究三

（1）满足怎样的条件，方程 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0

表示圆？

　　当D2＋E2－4F<0时，方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0

不表示任何图形．

　　当 D2＋E2－4 F＞0时，方程

　x2 ＋y2 ＋D x＋E y＋F＝0

叫做圆的一般方程．

圆的一般方程

求出下列圆的圆心及半径：

（1）x2 ＋ y2－6 x＝0；

（2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.

练习一

新授

将这个方程配方，得

(x－4)2＋(y＋3)2＝25．

因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．

例1　求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标．

解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

其中 D，E，F 待定．

由题意得

解得：D＝－8，E＝6，F＝0．

于是所求圆的方程为

x2＋y2－8 x＋6 y＝0．

求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．

练习二

解：在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲线上的任意

一点，点 M 在曲线上的充要条件是

由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为

例2 　已知一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)

　　 距离比为 的点轨迹．

　　 求这个曲线的方程，并画出曲线．

两边平方并化简，得曲线方程

　　　 x2＋y2＋2x－3＝0 ．

将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4 ．

所以所求曲线是以 C（－1，0）

为圆心，半径为 2 的圆，

如图所示．

练习三

归纳小结

1．圆的一般方程：

　　x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0　　

　　（其中 D2＋E2－4 F＞0）

2．用待定系数法求圆的一般方程．　　

课后作业

P 96 练习 A 第 1，2 题；

P 96 练习 B 第 2 题（选做）． [全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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