六大方法突破求轨迹方程问题常某某

以下为《六大方法突破求轨迹方程问题常某某》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。

六大方法突破求轨迹方程问题

常某某

最近讲解解析几何问题时，学生在求轨迹问题，出现了不少问题，在高考中填空、选择以及21题，经常出现，特此总结了求轨迹方程的六大方法，希望对大家有用：

1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

（二）求轨迹方程的注意事项：

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。

典例分析

一：用定义法求曲线轨迹

求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。

例1：已知
的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足
求点C的轨迹。

【解析】由
可知
，即
，满足椭圆的定义。令椭圆方程为
，则
，则轨迹方程为
（
，图形为椭圆（不含左，右顶点）。

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

圆：到定点的距离等于定长

椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）

到定点与定直线距离相等。

【变式1】: 1:已知圆
的圆心为M1，圆
的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：
，
。

。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为

2:一动圆与圆O：
外切，而与圆C：
内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：

A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支

【解答】令动圆半径为R，则有
，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。

二：用直译法求曲线轨迹方程

此类问题重在寻找数量关系。

例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

解 设M点的坐标为
由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.

【思路】此题中找到了OM=
这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即
），求动点P的轨迹方程？

【解答】∵|PA|=

代入
得

化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

三：用参数法求曲线轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【解析】

分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。

解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）

∵M为AB的中点，

消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；

当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。

综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：

解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），

∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形

化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。

分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。

又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2

∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，

注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）

中点M（1，2）， 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得
。

（1）当x≤3时，方程变为
，化简得
。

（2）当x>3时，方程变为
，化简得
。

故所求的点P的轨迹方程是
或

10.【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程
，得
。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得
。

设A（
），B（
），M（x，y），由韦达定理得
。

由
消去k得
。

又
，所以
。

∴点M的轨迹方程为
。

【创新应用】

11.【答案】：A

【解答】：由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R为圆的半径），则P的轨迹是椭圆，选A

[文章尾部最后300字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]

以上为《六大方法突破求轨迹方程问题常某某》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读上面文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。