平面向量基本定理及其坐标表示

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1．考查应用向量的坐标运算求向量的模．

2．考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算．

3．考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数．平面向量基本定理及坐标表示考点梳理

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线互相垂直 (x，y) a＝(x，y) 相等 相等 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (x2－x1，y2－y1) x1y2－x2y1＝0答案　A2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝ (　　)．

A．3a＋b B．3a－b

C．－a＋3b D．a＋3b

答案　B3．(2013·*_**已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为 (　　)．

A．0 B．4

C．－4 D．±4

解析　若a∥b，则有4×4＋4x＝0，解得x＝－4.

答案　C答案　A5．(课本改编题)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

解析　a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，

∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1.

答案　－1 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．答案　6 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的

坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．答案　(1)D　(2)B考向三　平面向量共线的坐标运算

【例3】?平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：

(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

[审题视点] (1)向量相等对应坐标相等，列方程解某某；(2)由两向量平行的条件列方程解某某． (1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．

(2)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.[教你审题] 可设a＝λb，但应抓住“a与b方向相反”这一条件．

答案　(－4，－2)[反思] 在解此类问题中，容易出现两个问题：(1)忽视了a与b方向相反这一条件，致使出现了增解；(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件．答案　4 [全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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