空间向量与平行、垂直关系

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3．2　立体几何中的向量方法?

第1课时　空间向量与平行、垂直关系学习导航

学习目标

重点难点　重点：利用空间向量证明线线、线面、面面垂直与平行．

难点：把线、面问题转化为向量问题．1.法向量

如图所示,直线l⊥α,取直线l的___________，则向量a叫做平面α的_________，给定一点A和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面是完全确定的．方向向量a法向量想一想

直线的方向向量和平面的法向量是惟一的吗？

提示：不惟一．2.空间中平行关系、垂直关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α,β的法向量分别为u，v，则

线线平行　l∥m?a∥b?a＝kb；

线面平行　l∥α?a⊥u?a·u＝0；

面面平行　α∥β ?u∥v?u＝kv；

线线垂直　l⊥m?a⊥b?a·b＝0；

线面垂直　l⊥α?a∥u?a＝ku；

面面垂直　α⊥β ?u⊥v?u·v＝0.做一做

根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面的位置关系：

(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；

(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0),v＝(－3，－9，0)． 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，试求出平面ABC的一个法向量．(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的法向量．

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：

(1)FC1∥平面ADE；

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

【名师点评】　(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．

(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．变式训练

2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

(本题满分12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别是BC、CC1的中点．

(1)求证：平面A1B1F⊥平面C1DE；

(2)在AB上确定一点P，使C1P⊥平面A1DE.

【思路点拨】　(1)证明面面垂直即证它们的法向量垂直；(2)证C1P⊥平面A1DE，只要证C1P的方向向量和平面A1DE的法向量平行．

名师微博

利用法向量与平面内两不共线向量垂直求法向量是本题关键.取y2＝1，则得x2＝－2，z2＝－1，

∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2，1，－1)．… (7分)

∴n1·n2＝1＋0－1＝0，∴n1⊥n2，

∴平面A1B1F⊥平面C1DE.(8分)【名师点评】　(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．

(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．

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