《等差数列的前n项和》教学设计

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《等差数列的前n项和》教学设计

（第一课时）

定州二中 李某某

一、内容和内容解析:

本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书XXXXX数学（5）》（人教A版）中第二章第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．是数列的基本概念和等差数列知识的延续，也是后续学习积分、极限等知识的基础，起着承上启下的重要作用。本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和及该求和公式的应用,该数学模型在实际生活中有着广泛的应用。通过等差数列前n项和公式的探究，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的研究问题的方法，体现“授之于鱼，不如授之于某某”的教学价值；通过介绍高斯求和的故事，向学生渗透人文价值与情感教育价值；通过求和公式的选用、变用与拓展来体现数学课堂的方法价值、应用价值、类比价值；这些价值的渗透有利于提升学生的数学素养。

教学重点: 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.?

教学难点: 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.

三维目标:

一、知识与技能?

掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.?

二、过程与方法?

通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.??

三、情感态度与价值观?

通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.??

教学过程:

（一）以境激情,提出问题

[知识链接] （教师幻灯投影、图文并茂）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋XXXXX+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确

答案：（1＋100）＋（2＋99）＋XXXXX＋（50＋51）＝101XXXXX50＝5050.

师生共同分析高斯算法的巧妙之处：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题

师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？??

生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=XXXXX=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+XXXXX+100=50XXXXX101=5 050.
?

师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，XXXXX，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.?

高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.?

作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.?

师 问：数列1，2，3，XXXXX，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+XXXXX+100相当于什么？?

生 这个数列是等差数列，1+2+3+XXXXX+100这个式子实质上是求这数
列的前100项的和.

师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.?

（二）启发引导,探索发现

问题1、如果V型粉笔架有25层，请问：一共有多少支粉笔？

把学生分成若干小组，进行小组合作、交流讨论学习，思考成熟的小组举手示意并派代表展示本小组的成果，其它学生则一起分享。

[学情预设] 受高斯算法的启示，学生可能会出现以下的解法

预设1、1+2+3+4+XXXXX+25=0+1+2+3+4+XXXXX+25=

（0+25）+（1+24）+（2+23）+XXXXX+（12+13）=25XXXXX13=325

预设2、1+2+3+4+XXXXX+25=（1+2+3+4+XXXXX+25+26）-26=

（1+26）+（2+25）+（3+24）+XXXXX+（13+14）-26=27XXXXX13-26=325

预设3、1+2+3+4+XXXXX+25=（1+25）+（2+24）+（3+23）+XXXXX+（12+14）+13=26XXXXX12+13=325

师：以上方法都很好，只是表现的形式略有区别，其实质是一样的，都采用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．

问题2：如果V型粉笔架有n层（n∈N*），请问：一共有多少支粉笔？

教师给学生足够的时间交流、讨论，让学生大胆说出自己的想法，

启发1：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．请同学们认真观察每一层的粉笔数量有何特征及粉笔的层数，能否把
的表达式写出来呢？

启发2：以上是从图形的直观角度入手，借助倒置的图形与原图形构成平行四边形从而避免分奇偶讨论的情况，同学们思考该方法的数学本质是什么呢？即对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数，且计算要最简便呢？”

（三）、类比联想,解决问题

问题3：现在我将求和问题一般化：?

(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+XXXXX+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)?

(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn??

生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+XXXXX+an，?

Sn=an+an-1+XXXXX+a2+a1，?

再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，?

所以
.(Ⅰ)?

生2 对于问题(2)，我是这样来求
的：?

因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+XXXXX+［a1+(n-1)XXXXXd］，?

所
以Sn=na1+［1+2+3+XXXXX+(n-1)］d=na1+
d,?

即Sn=na1+
d.(Ⅱ
)?

（四）、挖掘公式,深化认识

为了更全面系统的掌握、理解公式，教师继续提出以下问题并组织学生小组讨论：

问题1、为什么有
成立？（等差数列的性质）

分析：实质是等差数列的重要性质——等距性（即

∈N
,
）的应用。

问题2、在公式1中若将
代入又可得到怎样的式子?

即：
（公式2）

教师还可以引导学生将式子变形成：

问题3、两个公式有何异同点？

学生小组讨论后得出结论：两个公式都含有四个量，只是基本量不同而已：公式1含
、
、
、
四个量， 公式2含
、
、
、
四个量。

问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？

生：知三求一的问题。

问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？

引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析

[知识链接]

（五）剖析例题，理解巩固

例1、 (直接代公式)计算：?

(1)1+2+3+XXXXX+n；? (2)1+3+5+XXXXX+(2n-1)； ?(3)2+4+6+XXXXX+2n；?

(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.?

生 (1)1+2+3+XXXXX+n=
；(2)1+3+5+XXXXX+(2n-1)=
=n2；

(3)2+4+6+XXXXX+2n=
=n(n+1).?

变式训练，深化理解

变式训练1：求等差数列2、4、6、8、XXXXX、2n的和。

变式训练2：求等差数列1、3、5、7、XXXXX、2n-3的和。

变式训练3：求1-2+3-4+5-6+XXXXX+（2 n-1）-（2 n）=？

例2、在等差数列{ an }中，已知
，
，
，求
与

课堂练习：已知等差数列｛an｝的前10项某某310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.

例3、已知等差数列24，20 ，16 ，XXXXX

求: (1)数列｛an｝的通项公式；

(2)数列｛an｝的前几项某某864？

（选用） (3)
的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。

课后探究：若等差数列｛an｝的前n项某某
，试探究以下问题：

（1）该数列的通项公式是什么？

（2）该数列是等差数列吗？为什么？

（3）如果是等差数列，它的首项与公差分别是什么？

（六）回顾反思，深化理解

师：请同学们谈谈本节课有哪些收获呢？

组织学生按小组回顾本节课的基本知识及数学思想方法，小组之间互相交流、讨论，教师对学生的发言进行肯定，并作出相应的评价，最后补充，完善。（用幻灯片投影、展示给学生）

（七）分层作业、启迪升华

1、必做题： 课本P52习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第4,5题

2、选做题：已知函数f（x）=
，则f（-5）+f（-4）+XXXXX+f（0）+XXXXX+f（5）+f（6）的值为

3、探究题：（1）、已知等差数列｛an｝的前3项某某18，倒数3项的和为222，若其前n项某某600，求该数列的项数n的值。

4、若等差数列｛an｝的前n项某某
，试探究以下问题：

（1）该数列的通项公式是什么？

（2）该数列是等差数列吗？为什么？

（3）如果是等差数列，它的首项与公差是什么？

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