8等差数列前 n项和

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2.3.1等差数列的前n项和

泰姬陵

问题1:宝石数量： 1+2+3+4+XXXXX+98+99+100=？

一、情境导入

数列的前n项和：

称为数列{an}的前n项和，记为Sn.

数列{an}中，

德国数学家 高斯

被誉为“数学王子”

5050

一、情境导入

高斯的算法

计算： 1＋ 2＋ 3 ＋XXXXX ＋ 99 ＋ 100

他发现这100个数可以分为50组：

第一个数与最后一个数一组；

第二个数与倒数第二个数一组；XXXXXXXXXX

每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.

首尾配对相加法

问题2: 图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

这是求奇数个项和的问题

sn = 1 + 2 + XXXXX +(n-1)+ n

sn = n +（n-1）+ XXXXX + 2 + 1

思考：1+2+3+4+XXXXX+n=?

思考： a1+a2+a3XXXXX+an-1+an=?

2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +XXXXX+（n+ 1）

=n(n+1)

二、合作探究

已知等差数列｛ an ｝的首项某某a1，项数是n，第n项某某an，求前n项和Sn .

如何才能将等式的右边化简？

①

②

思考：还有别的推导方法吗？

二、合作探究

问题4：

已知等差数列｛ an ｝的首项某某a1，项数是n，第n项某某an，求前n项和Sn .

＋

＋

＋XXXXX ＋

①

②

另 解

①+ ②得

倒序相加法

有其它公式吗?

公式记忆

—— 类比梯形面积公式记忆

a1

a1

(n-1)d

例1 . 某长跑运动员7天里每天的训练量是：

, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500

这位运动员7天共跑了多少米？（单位：m）

解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，

记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.

根据等差数列前n项和公式，得

答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.

三、探究深化

变式练习

求相应的等差数列｛an｝的Sn ：

（1）a1=5，an=95，n=10

（2）a1=100，d=－2，n=50

500

2550

例2.已知等差数列{an}满足a2 + a5=14, a10=20， 求相应等差数列{an}的Sn.

三、探究深化

解:

思考：公式中共有几个量？

等差数列 -10，-6，-2，2，XXXXX

前多少项的和是54？

解：

n1=9，n2=-3 (舍去)

等差数列-10，-6，-2，2，XXXXX前9项的和是54.

例3：

设题中的等差数列为{an}，前n项某某 Sn，

则a1= -10，d= -6-(-10) = 4,设 Sn=54，

n为正整数

三、探究深化

进一步的思考：

1.an＝？从函数的角度怎样理解？

an = 4n-14

Sn = 2n2-12n

2. Sn呢？

等差数列－10，－6，－2，2， XXXXX的前多少项的和为54？

Sn的深入认识

an = 4n-14

Sn = 2n2-12n

四、总结反思

通过本节课的学习你有什么收获?

（一）知识方面

1.推导等差数列前 n项和公式的方法.

2.公式的应用中的数学思想.

-------倒序相加法

-------方程思想

3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知

其中三个量，可以求其余两个.

-------知三求二

（二）思想方法方面

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2.对求和史的了解。

我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：今有女子不善织布，每天所织的布以同 数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？

1.教材P46. 习题2.3 A组第1、2题

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