《等比数列》

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2.4.1 等比数列

***学

尹某某

学习目标

1.理解等比数列及等比中项的概念;

2.猜想并证明等比数列的通项公式，掌握等比数列通项公式的简单应用；

3.通过探究发现等比数列的单调性及等比中项的特点.

引例1：

如下图是某种细胞分裂的模型：

细胞分裂个数可以组成下面的数列：

1

2

4

8

16

XXXXX

庄子曰：“一尺之棰，

日取其半，万世不竭.”

如果将“一尺之棰”视为单位“1”，

则每日取出的部分依次为：

引例2：

观察归纳：

（1）1，2，4，8，16，XXXXXXXXXXXXXXX.

（2）

1.类比等差数列，观察归纳以上两个数列的共同特征。

2.你给这样的数列下个定义吗？

一、等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项某某，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。

2.你能把它转化成符号语言吗？试据此猜想等比数列的通项公式。

3.类比等差数列，请尝试推导等比数列的通项公式。

1.等比数列的首项某某公比可以是0吗？。

二、等比数列的通项公式：

猜想：不完全归纳法

XXXXXXXXXX

由此归纳等比数列的通项公式可得：

等比数列

类比

二、等比数列的通项公式：

累乘法

XXXXXXXXXX

共n  1 项

XXXXX）

等比数列

类比

牛刀小试

例1、已知等比数列｛an｝中，a4=2,a7=16,求an ,a9.

变式：

若已知等比数列的公比为3,第7项某某12,第9项的值是多少？

思考：

若已知等比数列的公比为q,第m项某某am,第n项的值是多少？

等比数列通项公式的推广

已知等比数列的公比为q,第m项某某 ,求 .

三.等比中项

例2：观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：

（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4

（3）-12， ，-3 （4）1， ，1

XXXXX3

XXXXX2

XXXXX6

XXXXX1

在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

(2)-1，-3，-9，-27，-81，XXXXX

(4) 5，5，5，5，5，5，XXXXX

(5) 1，-1，1，-1，1，XXXXX

(1)2，4，8，16，32，64.

1.请指出以上数列的首项及公比分别是多少，并判断其单调性。

2.等比数列的单调性与哪些因素有关？请归纳出你们的结论。

3.是否存在既是等差又是等比的数列？

探究讨论：

四.等比数列的单调性讨论

(3)

当 时，该数列为递增数列

当 时，该数列为递增数列

当 时，该数列为递减数列

当 时，该数列为递减数列

当 时，该数列为非零常某某

当 时，该数列为摆动数列

四.等比数列的单调性讨论

非零常某某既是等差数列又是等比数列。

1.判断下列数列是否为等比数列？

① 8，16，32，64，128，256，XXXXX；

② 1，1，1，1，1，1，1， XXXXX；

③ 243，81，27，9，3，1， XXXXX；

④ 16，8，4，2，0，－2， XXXXX；

⑤ 1，－1，1，－1，1，－1，1， XXXXX；

⑥ 1，10，－100，－1 000， XXXXX．

√

√

√

√

任一项不能为 0

当堂检测

当堂检测

4.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．

3.已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

2.已知等比数列｛an｝中，a3=9,a5=81.

(1)求a7.

(2)求通项公式an.

作业

1、回放本节课知识要点；

2、类比等差数列的性质，试归纳等比数列有哪些类似的性质；

3、课本53页：A组1、7、8

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