2.4线段的垂直平分线

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线段的垂直平分线楠木坪中学 刘某某

2.4

如图，人字形屋顶的框架中，点A与点AXXXXX关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AAXXXXX有什么关系？

我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.

已知点A与点AXXXXX关于直线l 对称，如果沿直线l折叠，则点A与点AXXXXX重合，AD=AXXXXXD，∠1=∠2= 90XXXXX，即直线l 既平分线段AAXXXXX，又垂直线段AAXXXXX.

●

●

l

A

AXXXXX

D

2

1

(A)

我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

如图，在线段AB的垂直平分线l 上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？

作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

由此得出线段垂直平分线的性质定理：

我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？

（1）当点P在线段AB上时，

因为PA=PB，

所以点P为线段AB的中点，

显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.

（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.

因为PA=PB，

所以△PAB是等腰三角形.

过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，

从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.

即 PC⊥AB，且AC=BC.

因此直线PC是线段AB的垂直平分线，

此时点P也在线段AB的垂直平分线上.

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

例 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分线相交于点O，连接OA，OB，OC.

求证：点O在AC的垂直平分线上.

证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上，

∴ OA=OB.

同理OB=OC.

∴ OA=OC.

∴ 点O在AC的垂直平分线上.

1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交

AB，BC于点D，E，∠B=30XXXXX，∠BAC= 80XXXXX，

求∠CAE的度数.

答：∠CAE=50XXXXX.

2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且

AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.

求证：AO=BO.

证明： ∵ AC =BC，AD=BD，

∴ CD为线段AB的垂直平分线.

又 AB与CD相交于点O

如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.

根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.

因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.

如何过一点P作已知直线l的垂线呢？

由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.

用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.

1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.

2. 如图，作出△ABC的BC边上的高.

如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）.

A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm

例

C

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