邯郸市25中贾某某

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24.2.3 切线的判定和性质

邯郸市25中南校区

贾某某

直线与圆位置关系有三种：

2、直线和圆相切

d r;

d r;

1、直线和圆相交

3、直线和圆相离

d r;

<

=

>

知识回顾1

（有两个公共点）

（有一个公共点）

（没有公共点）

要判定一条直线是圆的切线，现在有几种方法?

1、 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。

2、 圆心到直线的距离等于某某的直线是圆的切线。

１、切线和圆只有一个公共点。

２、圆心到切线的距离等于某某。

切线具有什么性质？

定义法：

数量法（d=r ）：

如图，经过半径OA的外端点A作直线l ⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？

l

A

O

d

r

条件一：直线l 经过半径OA

的外端点A

条件二：直线l 垂直于某某OA

d = r

相切

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

问题:如何经过⊙O上点A作⊙O的切线？

O

l

A

∵ OA⊥l

∴ l是⊙O的切线。

几何语言表示：

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

OA是半径，

于A

练一练：判断下列各题正确与否？

1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）

2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）

3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）

XXXXX

XXXXX

XXXXX

利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:

(1)直线经过半径的外端;

(2)直线与这条半径垂直。

下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．

1. 当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴顺着伞的什么方向飞出去的？

2. 砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的?

生活中的数学

判断一条直线是圆的切线，现在有几种方法?

有以下三种方法:

归纳

切线的判定方法

1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。

2、数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于某某的直线是圆的切线。

3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

O

．

l

思考？

A

∵直线l与⊙O相切于点Ａ，

∴ＯＡ⊥l

几何语言表示：

１、圆的切线和圆只有一个公共点。

２、圆心到切线的距离等于某某。

３、圆的切线垂直于过切点的半径。

切线的性质

归纳

例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。

求证：直线AB是⊙O的切线。

O

B

A

C

分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。

证明：连接OC(如图)。

∵ OA＝OB,CA＝CB,

∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。　

∴ AB⊥OC。

∴ AB是⊙O的切线。

例2、如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, 腰AB 与⊙O相切于点D.

求证:AC与⊙O相切.

证明：过O作OE⊥AC于E。

∵AB与⊙O相切于D,

∴ OD⊥AB,

∵O是底边BC的中点， ∴AO平分∠BAC，

∴ OE＝OD

∵ OD是⊙O的半径

∴ AC是⊙O的切线。

思考：上面两个例题的证法有何不同?

(1) 有切点,连半径,证垂直。用判定定理证。

(2) 无切点,作垂直,证半径。用数量法（d=r）证。

连接OC

（公共点C已给出）

过O作OE⊥AC

于E（公共点E未给出）

E

1、如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120XXXXX，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。

求证：AB是⊙O的切线。

O

B

A

无切点,作垂直,证半径。

证明：过O作OC⊥AB于C

∵ OA＝OB, OC⊥AB 。

在Rt△AOC中, ∠A ＝ 30XXXXX, OA＝10

∴OC=5。

又∵ ⊙O的半径为5

∴AB为⊙0的切线。

证明：连接OP。

∵AB=AC,∴∠B=∠C。

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，

∴∠OPB=∠C。

∴OP∥AC。

∵PE⊥AC，

∴PE⊥OP。

∴PE为⊙0的切线。

2、如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。

求证:PE是⊙O的切线。

O

A

B

C

E

P

有切点,连半径,证垂直

课堂小结：

1. 判定切线的方法有几种？

3. 常用的添辅助线方法？

⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）；

⑵直线与圆的公共点没给出，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）。

2、切线有哪些性质？

作业：习题24.2

4、12

谢谢大家！

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