2.3.1--2垂直的判定

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直线、平面垂直的判定及其性质

2.3

主要内容

2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.4 平面与平面垂直的性质

直线与平面垂直的判定

2.3.1

直线和平面的位置关系

复习

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

旗杆与地面的位置关系

观察

线面垂直

大桥的桥柱与水面的位置关系

思考

一条直线与一平面垂直的特征是什么？

特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．

直线和平面垂直

如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面? 互相垂直.

定义

垂足

平面内任意一条直线

如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过?ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面?垂直．

探究

有人说，折AD 所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？

思考

当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面XXXXX垂直．

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

思考

线面垂直的判定

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．（简称：线线垂直，则线面垂直）

例1. 如图，已知 ，求证

如果平行直线中的一条垂直一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC 异面的体对角线.

求证：AC⊥BD'

证明：连接 BD

因为正方体ABCD-A'B'C'D'

所以DD‘⊥平面ABCD

所以

因为AC、BD 为对角线

所以AC⊥BD

因为DD'∩BD=D

所以AC⊥平面D'DB

所以AC⊥BD'

AXXXXX

例3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.

如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？

答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．

探究

直线与平面垂直的判定定理可简述为

“线线垂直，则线面垂直”

小结

通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.

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