三角形中三条重要的线段

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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线第十一章 三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 八年级数学上（RJ）

教学课件***学 郭某某学习目标1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）

2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.

3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）复习回顾导入新课当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?放、靠、过、画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?复习导入导入新课三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如右图, 线段AD是BC边上的高.讲授新课思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？(3) 锐角三角形的三条高是在三角

形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高如图所示；直角三角形的三条高(1) 画出直角三角形的三条高,ABBC它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.BD钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条

高吗？DEFBFCEADABCDF(3)钝角三角形的三条高

交于一点吗？(4)它们所在的直线交于

一点吗？OE钝角三角形的三条高

不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.视频：画钝角三角形的高例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)典例精析方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．D例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．例3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，

∴∠DAC＝∠BAD＝30°.

∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，

∴∠B＝50°，

∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD

＝180°－30°－50°＝100°.视频：平均分蛋糕 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线.三角形的“中线”(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.

你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的

位置关系?三条中线，交于一点(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？

折一折，画一画，并与同伴交流.

三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.要点归纳典例精析例4 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周某某2cm，则BA＝________.提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.7cm思考 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?BAC用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的∠A的平分线.三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.12ABCD注意：“三角形的角平分线”是一条线段.∠1=∠2 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角

形纸片各一个.

(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?

(2) 你能用折纸的办法得到它们吗?

(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的

位置关系 ?

做一做三角形的三条角平分线交于同一点.三角形角平分线的性质解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，

∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，

∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD

＝180°－36°－34°＝110°. 例5 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.A知识归纳当堂练习1．下列说法正确的是 （　　）

A．三角形三条高都在三角形内

B．三角形三条中线相交于一点

C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可

能在三角形外

D．三角形的角平分线是射线B

2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）

A．①②

B．③④

C．①④

D．②③D3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　）

A．2条 B．3条

C．4条 D．5条BD5.填空：

（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则

AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图①图②AFDC∠22∠46.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC

的周长为25cm,求ΔADC的周长.解：∵CD是△ABC的中线，

∴BD＝AD，

∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，

则BD+CD＝25－BC.

∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC

＝BD＋CD＋AC

＝25-BC＋AC

＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.7.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,

∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.解：∵ＡE是△ABC的角平分线，∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.

∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°. 8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是

△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，

求∠DAE的大小.解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.课堂小结三角形重要线段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线

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