课例研究报告(白云凤)

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教学课例研究报告

课题研修人

白云凤

任教学科

高中数学



教学课例名称

XXXXX1.3.1函数的单调性



一、教材分析

《函数单调性》是高中数学教材必修一第一章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。学生对于函数单调性的认知共分为三个阶段:第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，第二阶段是在高一进一步学习函数单调性，从数和形两个方面理解单调性的概念，第三阶段是在选修中利用导数工具研究函数的单调性.掌握本节内容既是初中学习内容的
延伸和深化，不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，分析问题和解决问题的能力。在比较大小、解不等式、求函数的最值以及作函数图象等各方面都有着重要的作用.



二、教学目标

1、知识与技能：

（1）建立增（减）函数的概念

通过观察一些函数图象的升降特征，形成增（减）函数的直观认识；再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，图形语言到数学语言，以图识数的过程，以及理解增函数、减函数、单调区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

2、过程与方法:

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质
；

（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

3、情态与价值:

使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.



三、学生学习能力分析

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数
，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。另外以教材为主体注意学生对函数学习的畏难情绪的缓冲。



三、教学策略选择与设计

（一）、教学重难点

1、教学重点：形成增（减）函数的形式化定义；函数的单调性及其几何意义．

2、教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从函数升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

（二）、教学准备

1、学法：从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

2、教学方法：采用“启发探究”式的教学方法，注重概念的生成过程，回归教材，适当多媒体辅助教学。

（三）、教学基本流程

从观察具体函数图形引入→直观认识增（减）函数→定量分析增（减）函数→给出增（减）函数的定义→由图像说出函数的单调区间→利用定义证明函数单调性→练习、交流、反馈、巩固→学生归纳小结、教师评价



四、教学过程

问题

设计意图

师生活动





（一）创设情景，揭示课题





（1）由下图说出函数图象特点

启发学生由图像获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

师：引导学生观察图象的升降变化导入新课。

生：看图，并说出自己的看法





观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

 随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？





（2）作函数y = x的图象，观察其变化规律。

体会函数y=x是图象是上升的

师：引导学生从左往右看图象变化。

生：观察函数图象变化情况，并回答问题（图象是上升的）





 从左至右图象上升还是下降 ______?

 在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．





（3）描述函数y= x2的图象的升降规律。

体会同一函数在不同区间上的变化差异。

师：启发学生获取函数y= x2的图象升降特点，并将之与函数y = x进行比较。

生：观察图象，发现函数y= x2的图象在y轴左侧是下降的，右侧是上升的。比较两个函数的异同。





在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____ ． 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____





（4）从上面的观察分析，能得出什么结论？

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。





（二）研探新知[来





（5）y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？

指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识过程过渡到数学符号表述。

师：指导学生完成y = x2的对应值表，观察表格中自变量x的值从0到5变化时，函数值y如何变化。

生：填表并回答问题（自变量x的值增大，函数值y增大）。

师生验证：在（0，+∞）上，任意改变x1，x2的值，当x1＜x2时，都有x12＜x22。

教师引导学生得出：函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。





（6）如何定义增函数

从具体到一般引出增函数的定义

教师引导学生讨论、交流，说出想法，并进行分析、评价，补充完善后给出增函数的定义：





一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域

I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说

f(x)在区间D上是增函数，D 是函
数的单调增区间





（7）从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

得出减函数的定义，并由此培养学生类比的能力。

教师引导学生观察、验证、讨论、交流，师生共同得出减函数的定义：





一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域

I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，

当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说

f(x)在区间D上是减函数，D 是函
数的单调减区间。



四、教学过程

（8）分析增（减）函数定义的要点

点出关键字，使学生加深认识

教师引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“单调区间内任意变量都有....”的含义。

 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)





（9）函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间





（三）质疑答辩，回归教材，发展思维





（10）观察课本例1图象

巩固概念，培养学生自学能力

师：指导学生完成例1

生：完成例1和练习1、2、3





（11）学习例2，总结证明函数单调性的方法步骤

使学生熟悉用定义证明函数单调性的基本步骤。

生：阅读交流步骤

师：启发概括板书证明





判断函数单调性的方法--利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f(x1)－f(x2)
；③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．





（12）课堂练习一P30探究

进一步加深认识函数的单调性

教师启发学生完成探究，注意函数定义域、单调区间和单调性的书写。





（13）课堂练习二P39习题A1.2

进一步加深认识基本函数的单调性

师生数形结合解析











课堂小结

教师提出下列问题让学生思考：

①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？

②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？

③怎样用定义证明函数的单调性？

师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。

1.一个概念：函数的单调性；

2.两种方法：(1)观察图象;(2)定义证明.

3.一种思想：数形结合思想

4.三方思路：“画”“看”“算”





书面作业：课本P39习题A组第1,2题。





板书设计

XXXXX1.3.1函数的单调性

一 新课导入 三 例题讲解

二定义 四 小结



五、课例研究综述（反思）

1．给出实例和函数单调性的图形语言，调动学生参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。[来源: 2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。

4．通过安排课堂练习，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，更加注重数形结合回归教材突出教材实例。

5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。

6.通俗易懂的总结，缓解学生畏难情绪。





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