课题:指数函数及其性质

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课题：指数函数及其性质

一、教材分析

1、教材的地位和作用

“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数概念及性质的具体应用，也为今后研究其他函数提供了方
法和模式，为后续的学习奠定基础。指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。

2、课时划分

“指数函数”的教学共分两个课时完成。按照大纲的教学意图第一课时为指数函数的定义，图像及性质；第二课时为指数函数的应用。今天就“指数函数”第一课时设计思路做简要说明。它是学习了指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。

二、学情分析

1、有利因素

学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的
学习会有很大帮助。

2、不利因素

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定困难。

三、教学目标：

1、知识技能目标：使学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象和性质，初步学会运用指数函数解决问题。

2、过程方法目标：通过自主探索，让学生经历“特殊——一般——特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。

3、情感态度，价值观目标：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力。养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，树立学科学，爱科学，用科学的精神。[来源:学,科,网]

四、教学重点，难点

重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。

难点：对于指数函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。因此，弄清楚底数a对函数图象的影响是本节的难点。

五、教学方法与总体设计

（一）教法选择：

1、本节课采用的教学方法有 ：启发发现法、课堂讨论法

2、采用这些方法的理论根据： 新课程标准要求我们在教学中应充分体现 “教师为主导，学生为主体”这一教学原则。 为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。采用数学实验法让学生对指数函数的图象有直观认识。采用小组讨论法使学生概括出指数函数的性质，采用点拨启发让学生会用指数函数的性质。

（二）学法指导:根据学生认知规律，和课堂教学实际，结合教法，指导学生善于质
疑，合作交流，共同探索的学习方法

（三）本节课整体设计的思路

这是一节数学概念和性质课．本课的整体设计有两个过程：

一是情境引入→指数函数定义→指数函数图像画法与研究→指数函数性质探究与总结→图像与性质简单运用，

教学思路是一个由特殊函数到一般函数的过程；

教学过程的关键是通过对概念的剖析、定义、辨析，揭示概念的内涵和外延，通过对图象的观察、探索、交流、抽象、概括，认识指数函数性质的本质，是一个
运用数形结合思想探索一般规律的过程。

在这两个过程中着重培养学生的思维能力，学习数学概念和数学性质的方法和能力，提高学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，形成积极进取、勇于探索、不断创新的品格，提高学生的综合素质。让学生亲身经历这两个过程是教师主导作用的体现，也是实现上述设计意图的根本保证。

于是，本课的教学方法主要以探索发现法为主，教师努力创造平等、民主、热烈、务实、高效的氛围，实现教学目标。

六、教学过程

教学环节

教学程序及设
计



设计意图



新 课 引 入

(一)创设情景：

精心设计问题

我是这样设计疑问的，当已学数学知识无法解决新的数学矛盾的的时候，这时使用数学自身矛盾的解决是比较恰当的。我通过让学生计算下列各式的值：

（1）22 （2）20.5 （3）（22.5）2

等几道简单题目，让学生体验成功的快乐。接下来提问你能比较它们的大小吗？如果改成 0.52, 0.50.5, 0.51.5你还能比较它们的大小吗？又比如： 1.50.5 与0.51.5 呢？ 那么我们应该找寻什么办法解决呢？



由已学知识引入，然后提出疑问，引出课题，制造悬念，引发兴趣，调动学生思维。



新

授

课

(二)指数函数的定义：

我是这样分析的，通过小组讨论解决以下三个问题：

①让学生通过具体的表达式0.52，0.50.5，0.5 1.5归纳出指数函数的一般式y=ax(a>0且a≠1)，而不是我去告诉他们。

②让学生弄清楚为什么定义中规定a>0，且a≠1进行分析：

假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；

假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。

③让学生弄清楚为什么规定函数的定义域为R。前一节指数幂的运算已经把指数从整数推广到有理数，再从有理数到无理数，最后扩展到一切实数。

通过上面三个过程既能让学生动起来又能
符合“教师为主导，学生为主体”这一教学原则而且学生通过自己探究学到一个新的函数指数函数，这种喜悦将进一步激发他们学习的热情。

例1:下列函数是否是指数函数：

(1)y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=ex

(4)y=(1/3)x (5)y=1x

小结：指数函数的特点是

(1)y=ax的形式

(2)底数a>0且a≠1

（三）数函数的图像和性质

这个函数的图像是什么？有哪些性质？与我们之前学习过的一次函数、二次函数等等有何不同？

①让学生自己动手画指数函数y=2x 的图像，然后通过展台交流对比再通过电脑投影让学生有
一个初步的但是明确的认识，这进一步激发起学生的好奇。其它指数函数的图像是什么样的呢？与函数y=2x 的图像有何异同呢？不失一般性，让学生画出四个具有典型意义的指数函数（1）y=2x (2)y=(1/2)x (3)y=3x (4)y=(1/3)x的图像。

②这时一定会有新的发现，老师不必急于把同学的发现通过几何画板放在投影仪上让学生确认自己的发现。我是让他们小组合作交流，自己想办法确认自己的新发现。

新课引入后，板书课题，提出指数函数的概念。

简单的讨论一下的取值增强学生思维的严谨性

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

例1让学生正确理解指数函数的定义。

这样经过类比与对比思路会更加清晰

学生的主体意识在这里获得充分的体现

借助几何画板，突出重点和难点，图象的直观性，帮助学生理解消化新课内容。



授 新 课

如函数图像为什么恒过定点（0,1）？为什么函数的值域为（0,+∞）？为什么y=ax y=(1/a)x的图象关于y轴对称？让学生通过小组内合作交流的形式能紧扣定义去解决他们所遇到的问题。

③通过几何画板让学生从形的角度再次展示他们自己的发现。能让他们产生很强的成就感，同时潜移默化的掌握了研究函数的一般方法。我认为方法的总结不是要靠一节课小结的时候才去归纳总
结的，也不是能叫个名称就行的。而是一个过程的潜移默化，那才是学生真正具备的学习能力。

④（1）观察图像，四人小组为单位发现指数函数的性质。

（2）小组派代表来展示发现的性质。

（3）师生共同归纳整理发现的性质

指数函数y=ax图像特征[来源:学+科+网Z+X+X+K]

指数函数y=ax的性质



(1)这些图像都位于x轴上方

(1)x取任何实数时，ax >0

即定义域为R,值域为(0,+∞)



(2) 这些图像都

过点（0,1）

(2)无论a为任何正数，

总有
a0＝1



(3)自左向右看，图像Ⅰ逐渐上升，图像Ⅱ逐渐下降

(3)当a>1时，y=ax是增函数；当 0<a<1时，y=ax是减函数



(4)图像Ⅰ在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1；

图象Ⅱ正好相反。

(4) 当a>1时,

若x>0，则ax>1

若x<0，则0< ax <1

当 0<a<1时

若x<0，则ax
>1

若x>0，则0< ax <1



问题：通过前面的学习，你认为如何把握指数函数的图像和性质？

⑤引导学生通过图像特征，将指数函数的底数a分成两类，得出两类指数函数的代表图像。教师给出指数函数的图像和性质表。

通过电脑的动画显示，尤其是让学生自主动手让学生充分体验了同时也渗透了“实践－认识－再实践－再认识”的辩证唯物主义观点



授 新 课



a>1

0<a<1



图

象







性

质

（1）定义域：Ｒ





（2）值域为(0,+∞)





(3)
过点（0,1），即x =0时，y =1





(4)在Ｒ上是增函数

(4)在Ｒ上是减函数





(5)当x>0时，y>1当x<0时，0< y <1

(5)当x<0时，y >1

当x>0时，0<y <1



教师点拨：

1）单调性的说明能否由图像语言结合文字语言翻译为符号语言？

2）教师点拨当底数不同函数值的变化不同来说明可以用来比较函数值的大小。

通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力。



练

习

与

巩

固

（四）简单应用

学生能积极很轻松的解决前面一开始遇到的比较大小的问题，形成了与前面的问题首尾呼应的格局。既巩固了函数性质的应用，同时又解决了学生开始心中的困惑，为什么它们的大小关系就是那样的？降低了直接出现幂指时学生还需从联想到构造函数的一个思维梯度。

①题目不在多循序渐进就行，解决前面的问题后接着让学生比较 0.5-0.5 与 21.5

表面看起来底数不同，其实在比较大小的时候，我们的学生会从两方面入手一是化成同底幂，二是通过图像的性质来解决问题。

②1.50.5 与 0.51.5 这时学生用刚才的方法转化成同底来解决会有一些困难，小组交流后大部分同学都会利用1的这个中间值来比较大小。

③比较
（
＞0且
≠1） 这个与前面0<a<1和a>1形成一个呼应。让学生在认知和解决问题的时候感知一个分类讨论的思想。



练习题是指数函数性质的简单应用，目的是让学生熟悉一下性质，有利于指数函数第二课时的学习。





小 结

然后让学生归纳总结的这个过程不必有大量的
题目，题目多了学生的学习兴趣反而会下降。这个过程完全留给学生，可以到教室下面走走看看，引导学生从知识方面方法方面去总结。

利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像。

指数函数的性质：（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；（2）函数的特殊值（0，1
）；（3）函数的单调性：a>1,单调增； 0<a<1，单调减。

小结是一堂课内容的概括和总结，有利于学生系统掌握所学内容。



作

业



课后练习题59页习题2.1A组5,6题

作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现和弥补教学中的不足





七、板书设计：

课题：指数
函数



引例1：

（2分钟）

指数函数的定义

（5分钟）

练习

（5分钟）

例 1.：

（5分钟）

指数函数的性质：

（10分钟）

例 2：

（10分钟）

指数函数的图像特征

例3

例4

小结：

（2分钟）

作业：

（1分钟）



八、问题的延伸

通过具体事例让学生在这个时候体会指数函数是爆炸函数。例如折纸游戏一张薄薄的纸对折很多次以后，就能超过地球与太阳的距离。让学生感受指数函数的爆炸，让学生体会自己学的知识真有用。

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