函数的单调性-赵某某

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课程名称：函数的单调性

姓名：赵某某

学科：数学单位：**_*学

电话：***

教材：新课标人教版高中数学第一册(上)第二章第3节第一节课

使用目的：通过展示与实际生活联系的图像，引起学生的学习情趣，方便学生理解图像的单调性。

设计思路：课堂流程为学生自学——观察图像——讨论性质——归纳定义——做题练习

用后反思：通过本节课学生基本上理解了函数单调性概念，知道函数图像呈现出的单调性特征。用定义证明函数的单调性的掌握上学生知道了应该按照几个步骤证明，但是还不够熟练。

函数的单调性

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高中数学第一册(上)第二章第3节

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函数的单调性

教 材 分 析

1、教材结构与内容简析

《函数单调性》是高中数学新教材第一册（上）第二章第三节的内容。本节内容是高考考查的重点内容。在此之前，学生已经学习了函数概念的基础上，研究函数的性质。本节内容也是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，分析问题和解决问题的能力。

2、教学目标

1）知识要求目标：理解函数单调性的概念；掌握判断一些简单函数的单调性的方法；了解函数单调区间的概念。

2）能力要求目标：培养学生自学、分析、归纳能力、抽象思维能力及推理判断能力。

3）素质能力目标：领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法；培养学生对数学美的艺术体验；通过创设情景，激发学生的学习动力和好奇心，使其主动参与双边交流；通过对旧题的提出、思考、解决，培养学生自立、自强、自信的优良品质；通过教师对例题的讲解，培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度。

3、本节内容的分析

难点：函数单调性的判定及证明

重点：函数单调性概念的理解及应用

关键：增函数与减函数的概念的理解

高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。

学 情 分 析

1、教法

自学辅导法、讨论法、讲授法

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。学生是教学活动的主体、教学的根本目的是为了促进学生的发展，为了使学生达到本节设定的教学目标，我采取“四为主课型”的教学方法，以教师为主导，以学生为主体，以知识传授为主线，以能力培养为主攻，力图创建和谐、愉悦、互动的教学环境。整个教学过程经过了创设情景→观察思考→抽象概括→强化巩固→练习深化→归纳小结几个环节

教 法与学法

2、学法 自学——观察——讨论——归纳——练习

我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图培养学生自学阅读能力，渗透先观察后归纳，先猜想后论证的数学思想，培养学生发现问题、解决问题的能力。

教学过程

股票走势图

黄骅春季某一天的气温y随时间x变化的图象

引起学生的好奇心，求知欲，激起学生的学习动机，让学生主动参与到课堂教学的双边教学中来。

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

问题：观察上面函数的图象，并指出在定义域内的上升与下降情况。

从学生熟知的函数入手，引起学生对函数的亲切感，激起学生的学习兴趣，并为学习函数的单调性作铺垫。

一）创设情景，引入新知

X不断增大，Y也不断增大

X不断增大，Y不断减小

减函数

设计说明

用提问的方式，同时要求学生带着问题阅读教材，这样有助于培养学生的观察能力、自学能力和解决问题的能力。

如何用x与 f(x)来描述上升的图象？

如何用x与 f(x)来描述下降的图象？

形

数

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数,那么就称函数y=f（x）***严格的)单调性，这一区间叫作函数y=f（x）的单调区间。

说明：

1）函数单调性反映出函数值随自变量的变化趋势而变化的；

2）函数单调区间是针对定义域的某个区间而言的；

4）对于单独一个点，它不存在变化趋势，不能进行讨论。

这一点在本质上把区间上无数多个函数值大小问题转化为比较两个任意值大小的问题，也为后面的证明在定义域范围内任取两个自变量的值作好铺垫。

设计意图：

这是函数的本质特征，我们研究任何一个函数性质，不管是单调性，周期性，还是奇偶性，都是研究的问题；

这一个环节，由教师引导，学生观察分析比较，抽象概括共同得出，因为此过程蕴涵有从特殊到一般的规律，既培养了学生的抽象概括能力，又培养了学生的创新意识。

为后面函数单调区间的写法做好铺垫 。

a.有些函数在整个定义域域内具有单调性,如一次函数:

b.有些函数在某些区间内具有单调性,如二次函数:

c.有些函数没有严格单

调区间,如分段函数:

d.有些函数的定义域根

本不构成区间

2、判定函数单调性的方法

（1）图象法：从左向右看图象的升降情况

（2）定义法：利用定义判定(证明)函数的增、减性

用数形结合的思想方法体现函数单调性中函数值随自变量变化而变化的特征。

要求学生掌握结合概念中的图示进行判断的方法。

利用例1需讲清：

①单调区间的开闭（与说明4呼应）

②增、减区间的表示（与说明2、3呼应）

通过本例培养学生的观察、分析能力，加深了对单调区间及增函数、减函数概念的理解。

解 函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5],

其中 y=f(x)在区间[-5, -2), [1,3)上是减函数，

在区间[-2,1), [3, 5]上是增函数。

（图象法）例1.下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每个区间上，是增函数还是减函数。

例2：判断函数f(x)=3x+2在R上的单调性并证明。

1、图形判断；

2、定义证明。

本题体现数形结合思想，让学生从数和形两个角度深刻理解函数的单调性。

由于本题有两个难点，一个是证明步骤，一个是证明方法。学生很难从中归纳出证明方法及步骤，因而有必要进行详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出证明方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性，使学生体验数学中的艺术美。

对证明步骤、方法的归纳和说明，使学生掌握重点，突破难点。

教师板书，体现示范功能。

解答

例2：判断函数f(x)=3x+2在R上的单调性并证明。

则 f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)

由x1<x2 ，得 x1- x2 <0

即 f(x1)<f(x2)

证 设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2,

=3( x1- x2)

于是 f(x1)-f(x2)<0

所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

取值

判断

定号

变形

作差

变形的方法有因式分解、通分、配方法等；变形的结果有几个因式的乘积常数、、平方式等。

错解

例3 证明函数f(x)=1/x 在

(0，+∞)上是减函数。

解答

本题由学生体验，板演完成。关注学生的数学表达和学生提供的反馈素材，并及时校正。通过此题的辅导、讲解，强化解题步骤，形成并提高解题能力。

讨论：

1、此函数f(x)在给定区间上是恒大于 0的，还有其它证明方法吗？

2、函数f(x)=1/x 在(-∞，+∞)上是减函数吗？

例3、证明函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。

（四）练习反馈，巩固提高

教材 p60 练习 1、2、4

通过练习加深对概念的理解，熟悉判断方法，达到巩固、消化新知的目的。同时强化解题步骤，形成并提高解题能力。

（五）学生讨论，引导小结

让学生对所学的知识自我处理及吸收，清理知识脉络，建构知识体系。

（六）布置作业，强化落实

作业的设计与例题相呼应，揭示了教与学的一致性知识体系，加深记忆。

函数的单调性

板 书 设 计

1、定义

形

数

2、注意：

（1）

（2）

（3）

（4）

例1

注意：

（1）

（2）

例2

例3

步骤：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

板书设计重点突出，针对知识点，体现对称美。

说课到此结束

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