椭圆及其标准方程

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课 题

椭圆的标准方程



教学设计

会宁二中 马某某



教学过程

创设情景 动画演示 推导方程 结构分析 巩固练习 课堂小节 布置作业



教学目标

1、知识与技能：

①掌握椭圆两种形式的标准方程

②能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程

③培养学生发现规律，认识规律并利用规律解决问题的能力。

2、过程与方法：

通过椭圆标准方程的推导，使学生进一步感受曲线方程的概念，了解求曲线方程的基本方法，渗透数形结合和等价转化的思想方法。

3、情感、态度与价值观：

感受数学的对称美，简约美，体验数学的应用价值。



教学重点

椭圆标准方程的推导、椭圆标准方程的求法。为突出重点，本节的教学应抓住数形结合的数学思想方法。



教学难点

椭圆标准方程的推导。为了突破此难点，关键是抓住“怎样建立坐标系”并把实际问题数学化。



教学方法

直观演示与引导探究相结合



教学手段

实物演示和多媒体教学



教学环节

教学过程（学生探究、教师引导）

设计意图



创

设

情

景

情景 1、投放油罐车横截面的图片。

情景2、将一个圆向某一条直径均匀压缩，变形后，所得得图形也像椭圆。

问题1：它们是不是数学上的椭圆？怎样来检验所得的曲线是不是椭圆？

情景3、让学生试着举出生活中的有关椭圆的例子。

通过对现实生活中的实例为学生提供丰富的知识背景，调动学生的好奇心，激发学生学习新知识的兴趣，引出课题。



动

画

演

示

将一条无弹性的细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？所得的图形上的点始终满足什么条件？如果细绳的长度或两图钉的相对位置发生变化，所得的图形又有何变化？

问题1：当线长大于F1F2时，笔尖的轨迹是__________

问题2：当线长等于F1F2时，笔尖的轨迹是__________

问题3：当线长小于F1F2时，笔尖的轨迹是__________

椭圆的定义：平面内于两定点F1、F2距离之和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆，

（1）焦点：两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，

（2）焦距：两定点间的距离叫做焦距，

（3）：椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a，焦距记为2c，即F1F2=2c。

备注：①a>c>0

② p为椭圆上的点 PF1+PF2=2a

1、先让学生自己动手操作实验，发现具体的问题，思考如何解决。

2、再用多媒体的直观性的特点来让学生很清晰的了解椭圆的形成过程，有利于学生更好的掌握椭圆的定义。



椭

圆

标

准

方程

的

推

导

思考1：（1）求椭圆的方程可分为几步？

（提示学生回忆求圆的方程的步骤）

思考2：如何建立适当的坐标系？

（先让学生根据自己的理解来确定）

备注：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线相对于坐标轴具有较多的对称性。

建立适当的直角坐标系：

以直线F1F2为X轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系。

设点：设p(x,y)是椭圆上的任意一点，

∵F1F2=2c，则F1（-c,o）, F2（c,o）;

③根据条件PF1+PF2=2a得

(1)

化简：（方法一：两边平方）

（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)

问①能否美化结论的形象？

∵a>c>0,∴a2-c2>0,令a2-c2=b2

则：b2x2+a2x2=a2b2

问②由直线方程的截距式是否可以得到启发？

∴椭圆方程为：

（法二：分母有理化）对 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 泛性。

例2运用方程证实猜想：椭圆可用圆进行压缩变换得到。它揭示了椭圆与圆之间的内在关系。这种内在联系有利于进行类比探索，从圆的有关性质发现椭圆的相关性质。



课堂小结



图形

　

　



定义

　

　



焦点

　

　



方程

　

　



a、b、c的关系

　

　





利用表格的直观，简洁的特性来作小结，能便于学生巩固，掌握。



作业布置

思考题：

对于方程
满足什么条件时？它表示椭圆？（m,n>0）

2、教材P26页习题2.2（1）第1，2，4题

作业的布置要因材施教，要有弹性，让学有余力的学生创造性得到进一步发挥。





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