教学设计方案 张某某
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教学设计方案
课题名称
1.2.1函数的概念
姓名
张某某
工作单位
*_**学
年级学科
高一数学
教材版本
人教版
一、教学内容分析
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看 成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想
二、教学目标
知识与能力目标：
（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；?
（2）了解构成函数的要素；?
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；?
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域
过程与方法目标：
（1）在对具体实例的分析与比较中培养学生观察、类比、推理、判断的能力；（2）在对函数概念的提炼中培养学生抽象、归纳、概括的逻辑思维能力；
（3）在对函数概念的讲解中强化
情感态度与价值观目标：
渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。
重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数
难点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数
三、学习者特征分析
学生在初中初步探讨了函数的相关知识，有一定的基础；通过高一第一节“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证。通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力。
四、教学过程
一、创设问题情境，引出课题 让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系。
二、借助信息技术，讨论归纳
三、从特殊到一般，引出函数概念 学生接受和形成概念
四、借助熟悉函数平台，加深对函数概念的理解
五、再创情境，引导探究函数概念的新认识 让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用
六、师生释疑，深入研究
七、举例应用，深化目标
八、练习，交流，反馈，巩固
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
教师提出问题1：
我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）
我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：
问题2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数 表示同一个函数吗？
学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书）
学生思考回答问题
以实际问题为景，以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系。
师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度h关于炮弹发射时间t的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。
师：（实例2）引导学生看图，并启发：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。
师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？
师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f:A→B
生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。
让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系。
问题4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．
在函数概念得出后，教师强调指出“y=f(x)”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号y=f(x)的含义，教师提出下一个问题：
问题5：y=f(x)一定就是函数的解析式吗？
师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。
补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：
1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；
2．函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域；
3．函数符号y=f(x)的说明：
（1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；
（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；
（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数；
（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、XXXXX(x)等符号来表示。
4．定义域是函数的重要组成部分，如f(x)=x(x∈R)与g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数。
学生思考、讨论、交流
从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。
问题6：集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：f:A→B，使得集合B中的元素与集合A中的元素x对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？
教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
对应关系
定义域
值域
问题7：函数的三要素是什么？
教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了
同学们思考之后填写下表
利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用
问题8：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？
教师点拨：
函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
问题9：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。
教师启发、引导学生画图，以形求数。
学生思考、讨论，
进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用
师生：是函数；
与不是同一个函数。
问题10：如何判断两个函数是否相同？
引导学生对问题2进行抽象概括并归纳总结：
当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，我们就称这两个函数相等。
问题11：研读课本，叙述区间的概念。请同学们在阅读后填写下表：
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
教师指导学生自学，解决学生提出的问题，并指出说明：
（1）区间是集合；
（2）区间的左端点必小于右端点；
（3）无穷大是一个符号，不是一个数；
（4）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号。
学生对问题2进行抽象概括并归纳总结
填写下表
例1．已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的值。
让学生思考，并提问个别学生。
师问：怎样求函数的定义域？
追问：与有何区别与联系？
点拨：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，它是一个变量，是的一个特殊值。
例2．下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1） （2）
（3） （4）
师问：判断函数相等的依据是什么？
变式：若改（2）为呢？
思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？
例3．已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）求的值；
（3）你从（2）中发现了什么结论？
（4）求函数的值域。
教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：
变式1：已知
① 当时，求函数的值域；
② 当时，求函数的值域。
变式2：已知
① 当函数值域为时，求函数定义域；
② 当函数值域为时，求函数定义域。
变式3：（1）已知
求的值。
变式3：（2）已知
求函数
学生回答问题
加深理解本节课内容
课堂练习：
课本第23页练习1．2．3．
以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。
学生自主联系
巩固所学知识
六、教学评价设计
项目
A级
B级
C级
个人评价
同学评价
教师评价
认真
上课认真听讲，作业认真， 参与讨论态度认真
上课能认真听讲，作业依时完成，有参与讨论
上课无心听讲，经常欠交作业，极少参与讨论
积极
积极举手发言，积极参与讨论与交流，大量阅读课外读物
能举手发言，有参与讨论与交流，有阅读课外读物
很少举手，极少参与讨论与交流，没有阅读课外读物
自信
大胆提出和别人不同的问题，大胆尝试并表达自己的想法
有提出自己的不同看法，并作出尝试
不敢提出和别人不同的问题，不敢尝试和表达自己的想法
善于与人合作
善于与人合作，虚心听取别人的意见
能与人合作，能接受别人的意见。
缺乏与人合作的精神，难以听进别人的意见
思维的条理性
能有条理表达自己 的意见，解决问题的过程清楚，做事有计划
能表达自己的意见，有解决问题的能力，但条理性差些
不能准确表达自己的意思，做事缺乏计划性，条理性，不能独立解决问题
思维的创造性
具有创造性思维，能用不同的方法解决问题，独立思考
能用老师提供的方法解决问题，有一定的思考能力和创造性
思考能力差，缺乏创造性，不能独立解决问题
我这样评价自己：
同伴眼里的我：
老师的话：
七、教学板书
1.2.1函数的概念
一、引例
二、函数的概念 →（关键词）
↓
三要素
三、练习
四、课堂小结
八、教学反思
函数概念本质理解并非一次就能实现，它有一个循序渐进逐步完善，通过多角度多章节的学习，学生才能有一个较完整的深刻理解。但我们在一开始让学生接触理解高中数学函数概念时尽可能的让学生从多角度的去思考理解。
首先，从初中与高中数学中对函数的定义的比较中，让学生能从初中的描述性概念把函数看成变量之间的依赖关系到高中用集合与对应的语言定义函数，从而达到函数概念的提升，从而更好地解决如y=3这样的常数函数概念的解释。
其次，要用好课本，用课本教而非教课本。充分利用好课本中函数概念的背景教学，通过三个实例：炮弹发射；大气层臭氧问题，恩格尔系数问题培养学生观察问题提出问题的探究能力，培养学生抽象概括逐步学会数学表达和交流。
第三，充分发挥函数图像的集合直观作用，加强数形结合思想。
本节课有几个主要问题：首先，由三个实例归纳共性会遇到困难。原因是由具体实例到抽象思维的数学语言，要求学生具备较强的归纳概括能力，而高一的学生抽象思维能力相对较弱。
其次，学生不容易认识到函数概念的整体性。原因是把函数单一的理解成对应关系等，甚至认为函数就是函数值。
第三，函数符合f(x)比较抽象，学生难以理解。
所以预想到这些问题后，我就把三个实例设计的问题是一致的，实例一的问题我提前预设，实例二和实例三的问题让学生类比实例一提出问题并回答，让学生积极参与到主动思考、主动学习中来。组内合作交流选派里回到问题，老师在黑板板书 三个实例的集合对应 ，最后总结共性的时候还比较顺利，因为指向比较明确。
对例题的解答，看图像判断是否是函数没有问题，理解比较好。对f(a-1)有些疑惑，不确定是否整体代入进去即可，有点学生认为 要关注a-1是否在定义域内，思维不错。
最后的本节课的学习过程回顾，让学生起来总结比较流利，说明这个学生对本节课参与的比较认真扎实，对过程记忆比较清楚清晰，效果不错。
整体课堂比较流畅，学生参与积极度高，小组加分奖励实物制比较能刺激他们的积极性。要坚持进行下去，以锻炼他们的思维主动性。
教师在教学生时，不能把他们看作“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里灌输数学，这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很多的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学工程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。
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