于某某教学设计
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《两角和与差的余弦》教学设计
基本信息
名称
两角和与差的余弦
执教者
于某某
课时
1
所属教材目录
人教版《普通高中课程标准实验教科书》数学A版必修（4）第三章第一节
教材分析
《两角和与差的余弦》选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》数学A版必修四第三章第一节,是三角函数这一章中的一个重要内容，有广泛的应用。本节课的内容具有承上启下的作用。它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和与差的正弦、正切和二倍角公式的基础。对于三角变换、三角函数式的化简、求值及恒等式证明等问题的解决有重要的支撑作用。?
学情分析
（1）学生的已有的知识结构：掌握了三角函数的概念，三角函数的性质和图像。
（2）教学对象：学生对三角函数这一块内容，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。
教学目标
知识与能力目标
知识目标：使学生理解两角和与差的余弦公式的推导，并能初步应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
能力目标：?①经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系，感受特殊到一般和数形结合的思想。?
过程与方法目标
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
情感态度与价值观目标
①让学生在公式的推导和运用过程中体验成功的喜悦，培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。?
②通过观察、对比体会公式的对称美、思维的和谐美，给学生以美的陶冶。
教学重难点
重点
两角差的余弦公式的推导及应用
难点
两角差的余弦公式的推导
教学策略与 设计说明
由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式．我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口．选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力．
教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果．这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展．教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的思路．尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到．教师需要在引导学生仔细观察cos(+）=coscos－sinsin或cos(－）=coscos+sinsin的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理．
教学过程
教学环节（注明每个环节预设的时间）
教师活动
学生活动
设计意图
一．创设问题情境（5分钟）
问题1：前面我们学习了任意角的三角函数，那么你能求出cos150值吗？
问题2：用计算机当然是好方法，如果没有计算器，就没有办法了吗？能否写成两个特殊角的和或差的形式??cos15?XXXXX?=cos(45?XXXXX?-30?XXXXX)=cos45?XXXXX?-cos30?XXXXX成立吗?
教师：究竟cos15?XXXXX等于什么？cos??15XXXXX能否用45?XXXXX和30?XXXXX的角的三角函数来表示??这正是我们今天要研究的内容两角和与差的余弦（板书）。
二．复习提问（4分钟）
1．复习数量积的定义
。。
2、如果角XXXXX的终边与单位圆相交于点P，点P的坐标能否用角XXXXX的三角函数值表示？怎样表示？
三．探索研究，引导归纳（18分钟）
探索公式的推导
方法一：角的终边与单位圆相交于， OM=OB+BM=OB+CP=,
，
方法二：设
所以两角差的余弦公式
四例题讲解（10分钟）
例1 利用差角余弦公式求cos15XXXXX的值．
例2 已知
是第三象限角，求cos(-)的值．
[设计说明]如果学生基础比较好，这两个例题可以让学生独立完成．同时在完成例2后提出，如果去掉这一条件，又该怎么办？
五．巩固练习（5分钟）
求值：(1)cos15XXXXXcos105XXXXX+sin15XXXXXsin105XXXXX= ．
(2)cos(+21XXXXX)cos(-24XXXXX)+sin(+21XXXXX)sin(-24XXXXX)=
学生：不是特殊角不好求，但可以用计算器。
学生甲：不成立！
学生乙：若成立的话，cos30?XXXXX?=cos(60XXXXX?-30?XXXXX)=cos60?XXXXX?-cos30XXXXX，这个式子很明显不成立。
1.数量积的定义
。 。
2. 角XXXXX的终边与单位圆相交于点P，点P的坐标表示为
1.在探究余弦公式的推导过程当中，数量积的定义，角的终边和单位圆的交点坐标，以及，两个向量的夹角是由学生回答的。在推导公式的过程当中，学生需耐心听讲，认真体会数量积的两种表达方法，从而结合三角函数，推导出很重要的一个公式。让学生体会其中成功的乐趣。
学生积极思考用15XXXXX=45XXXXX-30XXXXX，和15XXXXX=60XXXXX-45XXXXX两种方法求解．
提出这一问题，目的是让学生明确研究两角和的余弦公式的必要性，激发学生探求新知的强烈愿望。
通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。
的
2.两角和余弦公式的证明中存在困难：三角函数表示单位圆上点的坐标，它虽然道理简单，但学生由于陌生而很不习惯，通过前面复习环节应该有所熟悉。
例1的作用一方面让学生熟练两角和与差的余弦公式，另一方面也向学生展示了公式的一种实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差，再进行求值。
例题2重点是训练学生对余弦公式的灵活应用，利用余弦公式进行简单的求值。巩固练习培养学生正用，逆用，公式的能力，为后面的学习打下牢固的基础。
课堂小结
2分钟
本节我们探究了两角差的余弦公式的推导过程，让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，通过一题多解发散学生思维，培养了学生良好的思维品质。
布置作业
1分钟
1．教材习题第2，3，4题中试根据自己的情况选做2题．
2．试自主探究公式，并加以证明．
板书设计
一提问
二探究公式的推导
三例题1 2
四巩固练习
教学反思
我对本节课的教学比较满意，其中用两种方法探求结果、证明结果两步进行探究我最满意，也有利于学生学会探究、培养学生发散思维．
2．学生对本节内容的学习达到了我期望的水平。学生们的复习工作做准备比较充分，使得整个课堂能够顺利进行。能够在讲课例题的时候加强数学思想方法的指导。对于公式的正用，逆用，变形用引导学生处理得当。
3．不足之处。课堂小结感觉由学生总结比由老师总结效果要好。课堂上对学生的激励还不够，今后还需改善。
4. 通过本节课的教学，我受益匪浅，在新课改的浪潮中，不仅要培养学生综合能力和综合素质，同时也对老师提出了更高的要求，要求在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。
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