两角差的余弦公式0教学设计

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3.1.1 两角差的余弦公式教学设计

一、内容和内容解析

（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

(2)内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单某某的三角函数表示两角差的三角函数。对于XXXXX，XXXXX为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

二、教学重点和难点：两角差的余弦公式的探索与证明。

目标和目标解析

1、目标：

1) 探究如何用向量数量积证明两角差的余弦公式，体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。

2) 掌握两角差的余弦公式的结构特征、变形以及应用，培养运用数学知识的能力以及逆用思维的能力。

2、目标解析：

1) 探索公式不应追求一步到位，先不去理会其中细节，抓住主要问题进行探索，然后再作反思，予以完善。因此向量工具的引入，使得两角差的余弦公式的得出成为一个纯粹的代数过程，大大降低了思考难度，而且体现了向量与三角函数之间的联系，发挥了向量的工具作用。所以这一过程，鼓励学生独立探索。这也是处理一般探索性问题应遵循的原则。在学生思维的困惑处，教师作必要提示。

2) 为了体现“数学是有用的”，我们的数学知识最终都要让学生掌握其应用，两角差的余弦也不例外。通过公式的正用、逆用，达到掌握公式的目的。

四、教学问题诊断分析

1、如何想到要用向量来证明两角差的余弦公式？如果突兀的给出，不符合科学知识产生的自然过程。所以我采用让学生仔细观察公式的构成要素和结构特征，联系所学知识，努力使数学思维显得自然、合理．

2、用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程，少数基础薄弱的学生做不来。这个我的处理是，第一让他们做好比较充分的预习，第二是在所有学生独立探究这个内容时，我走到学生中去，对基础差的学生作指导。

关键的探究过程和推理过程通过幻灯片再借助黑板，即时完成必要的演算推证过程，比单纯的课堂展示事先做好演算推证过程的幻灯片要效果更好。

教学过程

1、 提出问题：从学生已有知识出发，从联系与变换的角度提出最为接近探究水平的问题，增强学生的问题意识，使问题探究更为真实自然，更快贴近教学主题。

问题:不用查表和计算器，求cos15XXXXX的值.

思考:

1、15 XXXXX能否写成两个特殊角的和或差的形式?

2、 cos(45o-30o) 又如何计算？

3、cos15o=cos(45o-30o)

=cos45XXXXX- cos30XXXXX成立吗?

2、新课讲解：由任意角的三角函数定义入手，从图形中直观联系所学向量知识，探索出公式；探索公式先不去理会细节，抓住主要问题进行探索，然后再作反思，予以完善。

公式特点: Cos(XXXXX-XXXXX)=cosXXXXXcosXXXXX+sinXXXXXsinXXXXX

(1)、XXXXX、XXXXX为任意角 ;

(2)、差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下 ;

cos(XXXXX-XXXXX)≠cos XXXXX-cosXXXXX

(3)、记忆：公式右端是同名三角函数之积的和，左端为两角差的余弦，左右两端的连接符号相反 .

3、巩固体会：通过精选例题和练习题的求解，让学生熟悉公式的应用，比如要学会灵活地拆角、凑角；会进行简单的分类求解。

解决问题：计算cos15XXXXX的值.

法一、 cos15o=cos(45o-30o)

=cos45ocos30o+sin45osin30o

=

=

法二、 cos15o=cos(60o-45o)

4、例题讲解

例1、已知sinXXXXX= ， ，cosXXXXX= ， XXXXX是第三象限的角，求cos（XXXXX-XXXXX）的值。

例1中去掉
这个条件，解法是否和例2一样？

解：1）当XXXXX为第一象限角时，由sinXXXXX=
得

cosXXXXX=

又cosXXXXX=
， XXXXX 为第三象限的角

∴

∴ cos（XXXXX-XXXXX）=cosXXXXXcosXXXXX+sinXXXXXsinXXXXX=

2）当XXXXX为第二象限角时，由sinXXXXX=
得cosXXXXX=

同理得 cos（XXXXX-XXXXX）=

练习

计算：1、cos50o cos20o +sin50osin20o

=cos30o=

2、cos70osin130o-sin70ocos130o

=cos70osin(90o+40o)-sin70ocos(90o +40o )

=cos70ocos40o+sin70osin 40o

=cos30o=

化简：cos（XXXXX+XXXXX）cosXXXXX+sin（XXXXX+XXXXX）sinXXXXX

=cos[(XXXXX+XXXXX)  XXXXX]

=cos XXXXX

例2、已知XXXXX、XXXXX均为锐角，cosXXXXX=
， cos（XXXXX+XXXXX）=
，

解：∵ XXXXX、XXXXX均是锐角 ，∴ 0< XXXXX+XXXXX<XXXXX

又cosXXXXX=
, cos（XXXXX+XXXXX）=

∴ sinXXXXX=
, sin（XXXXX+XXXXX）=

∴cosXXXXX=cos[(XXXXX+XXXXX)- XXXXX]

=cos(XXXXX+XXXXX)cosXXXXX+sin(XXXXX+XXXXX)sinXXXXX

=

5.随堂练习：

在△ABC中，sin(A+B)= ，cosB= ，求cosA

6.小结回顾 ：

1）、公式的特点。

2）、已知一个角的正弦（或余弦）求该角的余弦（或正弦）时，要注意该角所在的象限，从而确定三角函数值的符号。

3）、在差角的余弦公式中， XXXXX、XXXXX为任意角，所以XXXXX、XXXXX可以为单某某，也可以是复角，运用时要注意角的变换，根据需要灵活的进行拆角或凑角，如XXXXX=(XXXXX+XXXXX)-XXXXX，2XXXXX=(XXXXX+XXXXX)-(XXXXX-XXXXX)等，同时应用公式解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择。

7.作业：

P137 2、3、4

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