讲课课件 陈某某

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第三节 参数估计教师：陈某某 参数估计就是用样本统计量来推算总体参数，有点估计和区间估计两种方法。一、参数估计的理论基础

按正态分布理论对参数进行估计。

正态分布的主要特征有：

1.以总体平均数为中心两侧呈对称分布，即样本平均数大于或小于总体平均数的概率完全相等，就是说样本平均数的正离差与负离差出现的可能性完全相等。

2.样本平均数越接近总体平均数，其出现的可能性越大；反之样本平均数越远离总体平均数，其出现的可能性越小。这种可能性数学上称为概率F(t),也就是可靠性。与概率对应的数值称为概率度，即抽样误差扩大的倍数，用字母t表示。概率F(t)与概率度t 的对应函数关系如图4-2所示。

68.27%

95.45%

99.73%

F(t)

图4-2 正态分布概率图

图4-2显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1μ的概率为0.6827,不超过2μ的概率为0.9545,不超过3μ的概率为0.9973。即：

当t =1时，F(t) = 0.6827

当t =2时，F(t) = 0.9545

当t =3时，F(t) = 0.9973

概率度t与概率F(t)的对应关系是：概率F(t)越大，则概率度t值越大，估计的可靠性越高，样本统计量与总体参数之间正负离差的变动范围也越大。对于t每取一个值，概率保证程度F(t)有一个唯一确定的值与之对应。因此人们制定?正态分布概率表?（见书后附页）供大家查找。

二、总体参数的抽样估计

总体参数的抽样估计有点估计和区间估计两种方式：

（一）点估计

点估计也称定值估计，它是直接用样本平均数代替总体平均数或样本成数代替总体成数。用字母表示为： ； p≈P。点估计不认为 ，而是认为 在点估计值 的附近。

1.总体平均数的点估计

例如，对一批电子元件随机抽取100件作使用寿命检验，检验结果见表4-4,要求对该批元件使用寿命做出点估计。

表4-4 某批电子元件抽样资料据此，估计该批元件平均使用寿命约为1055.5小时。2.总体成数点估计

例 仍按上例资料，规定使用寿命为1000小时及以上者为合格品，则该批元件合格率约为：p = 91/100 = 0.91即91%。

3.总体方差的点估计

仍用上例资料估计总体方差约为：

再如，某市随机抽取4000名居民，调查收视晚间新闻节目的观众有1600名，则全市居民晚间新闻节目收视率约为:

1600/4000 = 0.4（即40%）

4.总体总量的直接推算法

用样本平均数乘以单位数可得总体总量。

例如，从1000棵树苗中随机抽取100棵，成活率为96%,则1000棵树苗中约为1000×96% = 960棵成活。（二）区间估计

1.区间估计的概念

区间估计是在一定概率论保证下用样本统计量和抽样误差估计总体参数可能范围的推断方法。

区间估计在用样本统计量估计总体参数时，用某一个区间范围的数值作为总体参数的估计值，并说明总体参数落在这一区间的可能性（概率）有多大，统计称这一区间为置信区间。置信区间两端点数值称为置信上限和置信下限。总体参数落在置信区间内的概率称为可靠程度。区间估计就是根据样本统计量确定置信区间和可靠程度。

2.区间估计的步骤第一步，抽取样本，计算样本平均数（或样本成数）及其标准差

第二步，计算抽样平均误差

第三步，根据给定的概率得出概率度

第四步，计算抽样极限误差

第五步，推算总体平均数（或总体成数）的可能范围

例：某元件厂从10000只中随机抽取100只检测使用寿命规定寿命在950小时以上者为合格品，检测结果见表4-5。

表4-5 100件产品检测数据

在概率0.92（t =1.75）保证程度下估计平均使用寿命和合格品率。 （一）平均数的估计

1.平均寿命

2.标准差

3.不重复抽样误差

4.极限误差

概率度0.92与表中0.9199最接近，可用t =1.75。

5.区间估计

或

即1046.2025～1067.7975小时之间，其概率保证为92%。（二）成数的估计

1.合格率

2.标准差

3.抽样误差

4.极限误差

5.区间估计 0.97-0.02975≤P ≤0.97+0.02975

即合格率在：94.025%～99.975%之间，概率保证为92%。

本节小结 （一）统计量是由样本计算的，它可用来估计总体参数。

（二）参数估计的重要问题是概率度，它表明估计值对真值有多大的可靠程度。

（三）参数估计的步骤。

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