教学设计

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二元一次不等式（组）与平面区域 教学设计

*_**学 闫娇娇

一、新课标及考纲要求分析

《新课标》要求是：不等式有着丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个重要步骤，教学中可以从实际背景引入。

高考《考纲》要求：

1.能从实际情景中抽象出二元一次不等式组。

2.了解二元一次不等式几何意义、能用平面区域表示二元一次不等式（组）。

3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

从近三年的高考看，由于本部分内容是训练学生数形结合思想的典型内容，各省地考题几乎每年都有所涉及。其热度正逐年上升，应引起足够的重视。

二、教材分析

本节课是人教A版数学（必修5）第三章第三节第一部分内容，在学习不等式、直线方程后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是图解法解决线性规划的基础，具有承上启下的作用。在探索问题过程中渗透化归和数形结合的思想，有效的训练了学生计算、作图的基本能力，也训练了学生数形结合、等价转化等数学思想。本节课是二元一次不等式（组）与平面区域的第一课时，它的相关概念是线性规划问题的基础和前提。

三、学情分析

有利因素：在初中数学学习中学生已经接触过二元一次方程（组），所以在接受二元一次不等式（组）上会比较容易。

不利因素：1.学生的数形结合思想不够完善，学生识图、画图能力还不怎么好；

2.对点集与图像的关系理解不深。

在教学过程中，培养学生动手操作、主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，培养学生利用归纳、猜想、证明探究问题的能力是关键。

四、教学目标

知识与技能： 1.准确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域；

2.学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力。

过程与方法： 1.通过学生亲身体验、自主独立思考，解决一些较容易的问题；

2.引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，突破本节难点；

??????????? ?3.帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。

情感、态度与价值观：1.通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识；

????????????????????2.充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识。.

五、重点与难点

根据本节课知识点、教学目标及学生实际情况特制定了本节课的教学重点、难点及要点。

重点：根据二元一次不等式(组)画出平面区域；

难点：二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法；

要点：运用数形结合的思想方法，帮助学生分析描述几何图形。

六、教法与学法

1.教学方法的选择：

创设问题情境，采用启发诱导式的教学模式引导学生探索讨论，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。

2.?通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题与几何问题间的密切联系。为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：

①让学生自己发现问题，自己通过观察图像归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。

②分组讨论。

七、.教学手段。

本节课运用直角板、多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。

八、教学过程

教学环节

教????????学????????内????????容

设 计 意 图



新课导入



一家银行的信贷部计划年初投入25 00万元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.那么,信贷部应刻如何分配资金呢？

通过银行信贷资金分配问题

这个生活中的实例引出二元

一次不等式



新课探究形成结论



（1）复习回顾

一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如
的解集为 .

那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？

(2)二元一次不等式
的解集所表示的图形是什么?（怎样分析和定边界？）

平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点

结论1：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式
的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式
.

因此，在平面直角坐标系中，不等式
表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图（１）

（１）　　　　　　　（２）

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图（２）:

结论2：

二元一次不等式
在平面直角坐标系中表示直线
某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点

根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点。

提出：采用“选点法”来确定二元一次不等式所表示的平面区域

强调：若直线不过原点，通常选（0，0）点;

若直线过原点，通常选（1，0）（0，1） 等特殊点代入检验并判断。

直线定界，特殊点定域。

典型例题

例1画出不等式
表示的平面区域.

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常某某“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，
时，常把原点作为此特殊点

变式：画出不等式表示的平面区域.

（1）
（2）2ｘ＋5ｙ－10≥0

例2用平面区域表示不等式组
的解集



区域。

（2）写出右图中能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是____．

例3不等式组
表示的平面区域的面积为.

变式3 如本例的不等式组变为
区域的面积.



由特殊到一般，由简单到复

杂，由具体到抽象符合学生

的思维发展，把知识建构的

主动权交给了学生，以问题

的形式引导学生自已完成，

整个过程循序渐进，问题的

设置也是由浅入深，环环相

扣，使学生学的轻松自如.

通过三道例题和变式的讲解,式同学们对本节内容进行深刻理解,从而熟练解题。



课堂小结

知识方面：⑴ 二元一次不等式表示的平面区域

⑵ 二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法

⑶ 二元一次不等式组表示的平面区域

思想方法：数形结合、化归、分类讨论

能力方面：在推理的同时，逐步养成严谨的逻辑思维习惯.

由学生小结得出知识点，

教师引导学生领悟思想方

法，提示学生养成良好的

思维习惯。



九、板书设计

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３.３.１二元一次不等式（组）与平面区域

1、二元一次不等式（组）定义

２、直线定界，特殊点定域

３、例题讲解

４、课堂小结

?５、课后练习题



课堂练习（源于课本，高于课本，链接高考）

1．不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 ( )

A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0）

2．已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x 2y + m = 0 的两侧，则

A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24

C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤ 24

3．
表示的平面区域包含点
和点
则m的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4.不等式
表示的平面区域是一个 ( )

A．三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．矩形

5. 在直角坐标系中，满足不等式 x２－y2≥0 的点（x，y）的集合是

A B C D

6. 不等式
表示的平面区域内的整点个数为 （ 　）

A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个

7.不等式组
所表示的平面区域的面积为 （ 　） A
B
C
D 2

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