教学案例报告

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教学课例研究作业

课题研修人

徐某某

任教学科

数学



教学课例名称：

线性规划



一、教材分析

根据教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，绘制不等式组对应的平面区域内的有限点，同时用表格统计数据，观察不同可行解使目标函数产生的函数值的变化规律，研究使目标函数值相同的可行解的特点，体会分类归纳的方法，进而产生建立模型的方法，从而得到线性规划的最优解的求解方法．

重点难点 ：:教学重点是简单的二元线性规划问题的解法，教学难点是解决线性规划问题中的对目标函数 的几何意义的理解。 为有效突破教学重点，先由简单的规划问题引入，学生体验，探究解决问题的途径，例题变式教学挖掘线性规划问题最值的内涵与外延，完整教学内容。 对教学中的难点问题：目标函数 的几何意义的理解采用层层铺垫，从复习回顾到问题引入，渗透直线方程中 的作用，通过多点代入求得 值，逐步体会 在直线方程中的作用来明确 的几何意义。体会本课内容所蕴含的优化思想、数形结合思想、化归思想.和数学建模等思想方法．



二、教学目标

观察不同可行解使目标函数产生的函数值的变化规律，研究使目标函数值相同的可行解的特点，体会分类归纳的方法，进而产生建立模型的方法，从而得到线性规划的最优解的求解方法



三、学生学习能力分析

线性规划是运筹学中的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，也是优化的具体模型之一。中学所学的线性规划虽然只是运筹学中极小的一部分,但这部分内容不仅体现数学的工具性和应用性，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法——数学建模法，而且能够让学生初步体会规划的思想。 本节课是在学习了直线方程和二元一次不等式的基础上，对所学知识的应用，解决简单线性规划问题是以二元一次不等式表示平面区域的知识为基础的，故本节课又有着承前启后的作用。



三、教学策略选择与设计

从生活实例、情景问题或已有的旧知识复习做好铺垫，结合学习实际提出问题引入问题。从学生的认知水平出发，通过一定数量的日常生活或生产实际的感性材料来引入，或由学生已有的知识来引入，力求做到从感知到理解。根据学生的认知情况设计系列问题或提供相关资料来创设问题情境，根据新、旧知识的内在联系，复习已有知识，抓住数学研究中出现的新问题、新矛盾巧妙设置问题，激发学生迫切要求进一步学习的热情，以吸引学生高度注意。



四、教学过程

1、有关概念

( 1)线性约束条件：由变量x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组。

(2)线性目标函数：关于x，y 的一次目标函数（如z＝2x+y）。

(3)可行解、可行域：满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解，所有可行解 组成的集合称为可行域。

(4)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

(5)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。

2、预备知识：平面中一点P(x0，y0)和直线Ax+By+C=0的位置关系： （1）点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标满足方程，即Ax0+By0+C=0。

（2）点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时， Ax0+By0+C>0；当B<0时，Ax0+By0+C<0。

（3） 点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），则当B>0时， Ax0+By0+C<0；当B<0时，Ax0+By0+C>0。

注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同； （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C，所得到实数的符号相反。

2、二元一次不等式表示平面区域： ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域、不包括边界； ②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界； 注意：作图时，不包括边界画成虚线;包括边界画成实线。(3)判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法： 方法一：取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax+By+C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0，y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域； 特殊地， 当C≠0时，常把原点（0，0）作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或 （1，0）当特殊点，若点坐标代入满足不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律：( 1)Ax+By+C>0，当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）；

( 2)Ax+By+C<0，当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。

( 三)典例分析 例1、若、满足约束条件

（1）求目标函数z＝2x+3y的最大值和最小值； （2）求目标函数z＝-4x+3y的最大值和最小值。 （3）求目标函数z＝2x-3y的最大值和最小值；

（4）求目标函数z＝-4x-3y的最大值和最小值。 解：（1）根据约束条件作出可行域（如图所示）， 作直线：z＝2x+3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点D时，取得最大值，当过点时，取得最小值． 解方程组得D点坐标为（3，8），B点坐标为（-3，-4），

（2） 作直线：z＝-4x+3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点C时，取得最小值，当平移到直线时，取得最大值． 解方程组得C点坐标为

（12，4），

（3）作直线：z＝2x-3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点D时，取得最小值，当过点C时，取得最大值．

（4）作直线：z＝-4x-3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点B时，取得最大值，当平移到直线时，取得最小值．

注：可化为表示与直线平行的一组平行线，其中为截距，特别注意：斜率范围及截距符号，即注意平移直线的倾斜度和平移方向。

(四) 活动探究

1、设x，y满足约束条件 分别求：

(1)z=6x+10y，(2)z=-2x-y，(3)z=2x-y的最大值，最小值。

2、某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个.又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益?

(五)方法总结

1、求解线性规划问题的一般步骤： （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（3）求：通过解方程组求出最优解；

（4）答：将最优解代入目标函数得到最值。

2、关于线性规划问题的一般结论：

二元线性规划问题的最优解总是在区域的交点（顶点）处取得，最优解可能有无数多个。对于线性目标函数z =Ax+By ,当B大于0时，目标函数向上平移时z随之增大，目标函数向下平移时z随之减小；当B小于0时，目标函数向上平移时z随之减小，目标函数向下平移时z随之增大。 线性规划在实际生活中有广泛的应用，它是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成工业生产、经济管理等实际问题的专门学科、主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。



五、课例研究综述

在应用于课堂教学过程中,经过反复斟酌推敲，以更简洁的方法，结合实际，以自主探究、协作互助的方式，将原精品课程进行了相关变更，添加具体实例，并在授课过程中参阅经典算法，将之穿插于教学中，激趣导学，效果感觉更好。





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