基本不等式

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基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ab1、正方形ABCD的

　　面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的

　　面积和S’ =＿＿３、S与S’有什么　　　

　　样的不等关系？ 探究１：S___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？

重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有ABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式 的证明吗？证明：（作差法） 结论：一般地，对于任意实数a、b，总有

当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围：a,b∈R问题一问题一替换后得到： 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二证明：要证 只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法问题二证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式①各项皆为正数；

②和或积为定值；

③注意等号成立的条件.一“正”

二“定”

三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为xy m2得 xy ≤ 81当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，

菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，

则当x+y的值是常数S时，

当且仅当x=y时，

xy有最大值_______；思考题2. 若 0

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