数列复习

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数列复习

数列

通项an

等差数列

前n项和Sn

等比数列

定义

通 项

前n项和

性 质

知识

结构

一、知识回顾

仍成等差

仍成等比

等 差 数 列

等 比 数 列

定 义

通 项

通项推广

中 项

性 质

求和公式

适用所有数列

等差数列的重要性质

若项数为

则

若项数为

则

（中间项）

Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用

1.三个数成等差数列可设为

或者 ，

2. 三个数成等比数列，则这三个数可为 ，也可以设为

例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.

∴所求三个数分别为3，5，7

解得x＝5，d＝

或7，5，3.

XXXXX2.

二、知识应用

根据具体问题的不同特点而选择不同设法。

Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质

例2（1）已知等差数列 满足 ，

则 ( )

（3）已知在等差数列{an}的前n项某某，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.

析：

C

（2）已知等差数列 前 项某某30，前 项某某100，则前 项某某( )

C

例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?

分析:

如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：

１．当a1＜0,d＞0时,

２．当a1＞0,d＜0时,

Ⅲ、等差数列的最值问题

例３.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?

分析:

等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.

例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?

分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.

因为S9=S12,

又S1=a1<0,

所以Sn 的图象所在的抛物线的

对称轴为直线n=(9+12) XXXXX2=10.5,

所以Sn有最小值

∴数列｛an｝的前10项某某11项和最小

n

Sn

o

n=

10.5

类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为

直线x=(9+12) XXXXX2=10.5

思路3：函数图像、数形结合

故开口向上

过原点抛物线

常见的求和公式

专题一：一般数列求和法

①倒序相加法求和，如an=3n+1

②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n

③分组法求和， 如an=2n+3n

④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1)

⑤公式法求和， 如an=2n2-5n

专题一：一般数列求和法

一、倒序相加法

解：

例1:

导学案68页例4

二

三、分组求和

把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分， 使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.

四、裂项相消求和法：

常用列项技巧：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.

①累加法，如

②累乘法，如

③构造新数列：如

④取倒数：如

⑤Sn和an的关系：

专题二：.通项的求法

数列的前n项和Sn＝n2 n+1，

则通项an=__________．

①-②得：

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