3.2.1几类不同增长的函数模型(2)

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3.2.1　几类不同增长的函数模型(2)

教学目标

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．让学生体会从特殊到一般的数学思想

3．让学生感受信息技术在解决数学问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣．

重点难点

教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．

教学难点：学生对指数函数、对数函数、幂函数的增长速度认识很少，比较这几种函数的增长差异会有一定难度，应充分利用信息技术从图，表两方面加以辅助教学

导入新课

我们知道，对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异具体是怎样的情况．

教学实施：

环节一：

以三个具体函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2为例进行研究，利用几何画板观察表格

/

学生可以通过表格观察出x在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为增函数．也能观察出三个函数的增长速度不同，还能观察出指数函数与幂函数的交点。

（1）利用表格上的数据，在同一坐标系中画出三个函数的图象.（导学案）

学生作图

/

(2)结合函数的图象找出其交点坐标.，并在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x/的取值范围.

从图象看出y＝log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y＝2x的图象与y＝x2的图象有交点，不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)

（3）通过几何画板，在更大的范围内观察y＝2x和y＝x2的图象

/

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

XXXXX



y＝2x

1

2

4

8

16

32

64

128

256

XXXXX



y＝x2

0

1

4

9

16

25

36

49

64

XXXXX



/

容易看出：y＝2x的图象与y＝x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.

但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示．

x

0

10

20

30

40

50

60

70

80

XXXXX



y＝2x

1

1 024

1.05E＋06

1.07E＋09

1.10E＋12

1.13E＋15

1.15E＋18

1.18E＋21

1.21E＋24

XXXXX



y＝x2

0

100

400

900

1 600

2 500

3 600

4 900

6 400

XXXXX



/

设计意图：以三个具体函数为例，让学生通过表格和图像对这三个具体函数的增长情况有一个感性认识，但是学生观察和作图都是局部范围内的，有一定的局限性，所以在更大的范围里，教师借助几何画板让学生对y＝2x和y＝x2的增长情况进一步认识

环节二：

保持函数y＝2x不变，改变函数y＝xn(n＞0)的中n取值（小组长规定本组n的数值），在导学案中作图（简图，能体现函数变化趋势即可）

学生做出简图之后，在实物投影下展示，让学生观察图像的增长差异

利用几何画板观察图像从特殊到一般的变化差异，小组讨论得出一般结论 ：

/

一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.

设计意图：当学生对指数函数的增长速度（指数爆炸）有了一个感性认识之后，保留原有的y＝2x这个函数图像不变，通过改变幂指数，分组活动进行作图，观察，比较，进而把具体的指数函数和幂函数向一般化过度，在教学过程中教师利用几何画板演示函数一般化后仍旧保持着某种规律和性质，最后由学生总结出一般结论

环节三：

保持函数y=log2x不变，改变函数y=xn中n（n>0）的取值，利用几何画板观察函数图像变化差异，小组讨论得出一般结论：

/

/

/

同样地，对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.

设计意图：在上个环节中学生对幂指数重新赋值，会发现当y＝xn中在0＜n＜1时函数图像是缓慢增长的，因此就特别有必要对幂函数和对数函数进行比较，研究方法和上个环节一样，教师利用几何画板让学生观察缓慢增长的幂函数和对数函数的增长差异，学生总结出一般结论

归纳总结：

综上所述，尽管对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.

虽然幂函数y＝xn(n＞0)增长快于对数函数y＝logax(a＞1)增长，但它们与/指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂/函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，学生对指数函数、对数函数、幂函数的增长速度认识很少，比较这几种函数的增长差异会有一定难度，应充分利用信息技术从图，表两方面加以辅助教学

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