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函数的单调性
1. 观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？
2. 针对函数y=x2在[0，+∞ ）上图像，任某某 变量的两个值，比较其对应函数值的大小.
3. 总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律.
1、在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______．
2、 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____．
f(x) = x2
(-∞,0]
(0,+∞)
增大
减小
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
一般地，设函数的定义域为 I:
如果对于属于定义域为 I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
增函数概念
减函数概念
一般地，设函数的定义域为 I:
如果对于属于定义域为 I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数 在某个区间上是增
函数或减函数，那么就说函数
在这一区间具有（严格的）单调性，
这一区间叫做 的单调区间。
1.函数的单调性也叫函
数的增减性
2.函数的单调性是对某个区间而言
的,它是一个局部概念.
注：
例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函
数 的图象,根据图象说出
的单调区间,以及在每一区间上,
是增函数还是减函数.
在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数
在区间[-2,1), [3,5)上是增函数.
O
如图,已知 的图象(包括端点),
根据图象说出函数的单调区间,以及
在每一区间上,函数是增函数还是减
函数.
如图,已知 的图象(包括端点),
根据图象说出函数的单调区间,以及
在每一区间上,函数是增函数还是减
函数.
-1
1
o
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,
并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意:有几个单调区间时不能把几个区间并起来说.为什么呢？
在(-∞,+∞)是减函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数
在(-∞,+∞)是增函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数
例2 证明函数 在R上是
增函数.
证明：设x1，x2是R上的任意两个实数， 且x1<x2 ,则
f(x1)－f(x2)=(3x1+2)－(3x2+2) =3(x1－x2).
由x1<x2 ,得x1－x2<0, 于是f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以, f(x)=3x+2在R上是增函数.
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1<x2；
②作差f(x1)－f(x2)；
③变形
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（通常是因式分解和配方）；
例3 证明函数 在(-∞,0)上
是减函数.
由 ，得
（- ∞ ，0）
（- ∞ ，0 ）
解：函数图象如右图所示:
（-∞，0）和（0，+ ∞）是两个单调减区间。
思考：能否说该函数在区间（-∞，0）∪（0，+ ∞）上是单调减函数？
不能
1、判断f（x）=x2-1在（0，+ ∞）上是增函数还是减函数？
2、判断f（x）=-x2+2x在（- ∞，0）上是增函数还是减函数？
练习
增函数
增函数
小
结
1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.
2、判断函数单调性的方法：
（1）利用图象：
在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.
（2）利用定义：
用定义证明函数单调性的一般步骤：
任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.
课堂小结，知识再现
巩固概念 判断：
1、已知
2、若函数
3、因为函数 在区间上 都是减函数，所以
在上 是减函数。
错
错
错
强调 ：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定***如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
谢谢
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