必修一 3.1.1 方程的根与函数的零点

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第三章 函数的应用

3.1 函数与方程

3.1.1 方程的根与函数的零点

宣化一中：刘某某 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…… 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.

13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法今天我们来学习方程的根与函数的零点！你会求什么方程的根呢？探究：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次

函数的图象，观察二者有何联系？

（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3

（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1

（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3你知道方程对应的函数是怎么找的吗？方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函

数

的

图

象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0y=x2-2x+3函数的图象

与x轴的交点xy－132112－1－2－3－4....0.方程ax2+bx+c

=0(a＞0)的根函数y=ax2+bx

+c(a＞0)的图象判别式Δ=

b2－4acΔ＞0Δ=0Δ＜0函数的图象

与x轴的交点有两个相等的

实数根x1=x2没有实数根(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等

的实数根x1、

x2一般结论 一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)＝0有实数根

?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x

叫做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义：零点指的是一个实数，

不是一个点方程f(x)＝0有实数根

?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点

?函数y＝f(x)有零点现在知道如何求没有公式的方程的根了吗？

例1 函数f(x)=x(x－4)的零点为（ ）

A．(0，0)，(2，0) B．0

C．(4，0)，(0，0)， D．4，0

D解析：由x(x－4)=0得x=0或x=4.

注意：函数的零点是实数，而不是点.解方程是求函数零点的一种方法1234512345xyO-1-2-1-4-3-2探究：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函

数该如何确定零点呢？观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：

在区间[-2，1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)=_______，

f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．

在区间(2，4)上有零点______；

f(2)·f(4)____0（填“＜”或

“＞”）． x=－1－45

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