变化率问题教学设计及反思

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“变化率问题”的教学设计

一.内容和内容解析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二.目标和目标解析

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：

1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

三.教学问题诊断分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。

四.教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等。

1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五.教学过程设计

1.章引言

师生共同学习本章的章引言。

设计意图：充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣。

2.形成概念

问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。

问题2：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

思考：当空气容量从
增加到
时,气球的平均膨胀率是多少?

设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。

问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度
?(单位:m)与起跳后的时间
?(单位:s) 存在函数关系
，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在
这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在
这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。

探究：计算运动员在
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

????(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?

????(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明）。

思考：当运动员起跳后的时间从
增加到
时,运动员的平均速度是多少?

设计意图：把问题3中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题2、3的共性。

定义：一般地,函数
?中，式子
称为函数
从
到
的平均变化率。其中令
，
，则
。

设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

思考：（1）
的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？

设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。

思考：观察函数
的图象平均变化率
表示什么?（图略）

设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

3.应用举例

课堂练习一：求下列函数的平均变化率：

（1）
??????????? （2）

设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

师生活动：教师适当点拨，学生口答。

例：求函数
的平均变化率。

解：

课堂练习二：设圆的面积为
，半径为
，求面积
关于半径
的平均变化率.

设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：

（1）作差?????? （2）作商

????最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。

4.总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。

六.目标检测设计

（1）课本第10页习题1.1A组:1

（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》

（3）备选作业：已知函数
，求
的值：

设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。

“平均变化率”的教学反思

在本次课题组的研讨会中我承担了“变化率问题”的教学任务，会前根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”进行了教学设计，并在高二年级进行教学实践，课题组以教学设计及实施过程为载体，分析和评价教学过程，尤其是对核心概念与数学思想方法的教学进行了深入的讨论，提出了许多指导性意见。

经过课题组的点评与讨论后，对本堂课教学设计中的某些环节有了更深入的理解，下面结合教学实践，对教学过程各环节进行反思。

1.对教学设计的反思

（1）对“平均变化率”概念在整章中的地位的认识

在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念。经过课后研讨，综合课题组成员的点评意见，经过自己的不断反思，发现“平均变化率”仅仅是个辅助性概念，它是为“导数”这个核心概念作铺垫的，当然这其中过渡性概念是“瞬时变化率”。课堂教学中忽视了“平均变化率”与“导数”的联系，定位不准确导致这一概念的教学目的不明确。为此，修改教学设计时必须突出“从平均变化率到瞬时变化率”的过程，引入“瞬时变化率”概念，同时指出“瞬时变化率”就是本章研究的“导数”。

（2）问题1的科学性

在教学设计时，我设计了如下问题作为整节课的引入：

问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

设计意图是：这是学生熟悉的问题，能较快地解决，同时也有利于引出本节课的核心概念“平均变化率”。从上课效果看也确实达到了我预想的目标，但课后点评后才发现，这一问题缺乏科学性，有待修改。经反复思考，觉得改为：“甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元,假设资本在单位时间的扩张速度保持不变，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?”可能效果会更好。

（3）问题2与问题3的教学顺序

在教学设计时，按照课本的顺序，把“气球膨胀率问题”和“高台跳水问题”分别作为问题2和问题3。当时觉得问题2（即气球膨胀率）的背景是学生比较熟悉的，有生活体验，从此处入手更加贴近生活，况且教材也是这样安排的。但从教学实践看，问题2并没有起到应有的效果。经过研讨和反思，觉得“高台跳水”是运动问题，函数模型是二次函数，比问题2的幂函数模型更简单、熟悉。因此将问题2与问题3教学顺序交换后，教学效果会更好。

2.对教学过程的反思

（1）对学生认知基础的关注问题

课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想相差甚远。经了解实际情况，原因是学生还不知道两点连线的斜率公式，从而导致“思考：观察函数
的图象平均变化率
表示什么?”的教学设计意图不能完全展现。这是借班上课容易出现的问题，但从另一个侧面说明了教学中关注学生的认知基础是成功地实施课堂教学的前提。

（2）教学语言问题

从理论上讲，数学老师的语言应该做到严谨而简洁，体现理性美，这是自己知道的。但在课堂教学中真正实施起来却又是另一种状况。例如在分析例题“求函数
的平均变化率”时，自己很随意地说：“此时的
处是指默认的
处”，缺乏逻辑性，词不达意，使学生不知所云。出现这种现象的原因在于教学设计时不精细，没有在语言准确性上下功夫。

（3）学生思维量的“度”的把握

课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导具”有明显的“牵”的味道。在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多。整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够。例如，在分析“气球膨胀率问题”中的函数变式时，目的仅仅为了推导变式函数，虽然有些学生也有一定的思考，但为了赶时间、赶任务，并没有进行更深入的分析。

3.对教学效果的反思

教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率。当然也存在很多不足：对呼之欲出的“瞬时变化率”没有及时给出，缺乏联系性，没有用发展的眼光来处理教材；有关数学思想与方法的落实有所欠缺；等。如果对教材挖掘得更到位些，更深入地体会教材的编写意图，那么相信这堂课就会上得更成功些。

面对自己精心准备的课被专家们评得一无是处，心里觉得很难过，同时也很想写些什么或说些什么来……。经过这么长时间的反思，现在重新再看专家们的点评，想法又变了，觉得他们所说的有道理，有些确实是自己缺乏考虑，所以才有了上面的教学反思。总之，课堂教学是一门高深的艺术，只有通过不断的实践，并在实践中反思，进行再创造，才能有所得，有所为。通过这次活动，我觉得自己确实在成长。

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