等比数列教学设计 韩某某

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2.4等比数列教学设计

峰峰第一中学 韩某某

?一、教材分析：

1、内容简析：选自人教版数学必修5第二章第四节第一课时，教材遵从由“特殊到一般”、“循序渐进”学习规律，渗透函数思想和方程思想，进一步培养学生观察、分析、归纳、猜想和类比推理能力，提升学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养。

2、学习目标：

（1）知识目标：理解等比数列定义，掌握等比数列通项公式和等比中项

（2）能力目标：能在生活实践中发现等比数列，构建数学模型，用相关知识解决问题;

（3）情感目标：发现生活中数学，感受数学文化，增强学生数学学习兴趣

3、重点和难点：

重点：等比数列和等比中项的概念，等比数列通项公式的推导和应用

难点：等比数列“等比”特征的理解、把握和应用

二、学情分析：

掌握了等差数列及通项公式，具备一定观察分析、归纳总结能力，欠缺知识间整体联系和类比迁移能力。

三、教法和学法分析

1、教法：问题式、启发式、类比推理式教学

2、学法:观察分析、合作探究、归纳总结

3、教学手段：多媒体辅助教学

四、教学过程

（一）复习巩固

（1）等差数列定义； （2）等差中项；（3）等差数列的通项公式；（4）推导方法；（5）等差数列与函数的关系。

多媒体展示问题，师生互动（设计意图：复习旧知识，为新知识的学习做准备）

（二）情境创设

情境一：细胞分裂的模型 细胞分裂个数可以组成下列数列

1，2，4，8，16，XXXXX

情境二： 《庄子XXXXX天下篇》中写到： “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。现代语言“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取 不完。 ”我们把“一尺之锤”看做单位“1” ，那么可以得到： 1，
，
，
，
，XXXXX

情境三：计算机病毒传播 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，以此类推，假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机构成的数列

1，20，
，
，
，XXXXX

情境四：银行支付利息的方式——复利

计算本利和的公式是：

本利和 = 本金XXXXX（1+利率）存期。

现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：

，
，
，
，
，XXXXXXXXXX

研究下面四个数列并思考其共同特点

从第 2 项某某，每一项与前一项的比都等于 2；

从第 2 项某某，每一项与前一项的比都等于

从第 2 项某某，每一项与前一项的比都等于20；

从第 2 项某某，每一项与前一项的比都等于 1.0198

师生互动：学生完成情景创设的问题，引导学生类比等差数列定义，尝试总结出等比数列的定义

（设计意图： 通过数据分析和逻辑推理增加学生对等比数列定义理解和记忆， 同时培养学生的数学抽象能力和习惯，激发学生学习兴趣）

（三）新知探究

探究一：等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项某某每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（q≠0）即：
=q（q≠0）

强调：“从第二项某某”与“前一项”之比为常数(q)

｛
｝成等比数列

=q（
,q≠0）

深化概念

1.已知等比数列{ an }：

(1) an 能不能是零？ （隐含：任某某
）

(2)公比q能不能是1？ （q= 1时，{an}为常数，“
≠0”是数列｛
｝成等比数列的必要非充分条件）

2.用下列方法表示的数列中能确定

是等比数列的是 ①、④ 、⑥

① 1，-1，1，XXXXX，(-1)n+1 ； ②1，2，4，6XXXXX；

③a，a，a，XXXXX，a； ④已知a1=2，an=3an+1 ；

⑤

⑥2a，2a，2a，XXXXX，2a.

3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？（非零常某某）

（设计意图：深化剖析等比数列定义，让学生的学习由感性到理性）

探究二：等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=XXXXX
（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则
，

反之，若G
=ab,则
，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列
G
=ab（aXXXXXb≠0）

观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等比数列：

（1）1， XXXXX3，9 （2）-1， XXXXX2 ，-4

（3）-12，XXXXX6 ，-3 （4）1， XXXXX1 ，1,

（设计意图：通过类比概况出等比中项的定义，理解并掌握等比中项）

探究三：等比数列通项公式

类比等差数列的推导方法

法一：归纳法，学会从特殊到一般的方法，并从次数中发现规律，培养观察力。

法二：累乘法，联系等差数列“累加法”，培养学生类比能力及新旧知识转化能力。

类比推理法推出

公式1:

公式2:

（设计意图：通过等差数列类比推导概况出等比数列通项公式，透彻剖析、理解、运用公式解决知三求一）

探究四：等比数列与指数函数的关系

等比数列｛
｝的通项公式
,它的图象是分布在曲线
（q>0）上的一些孤立的点。（图像以PPT展示）

（设计意图：通过类比出等比数列与的函数关系，了解知识间的联系，渗透函数思想）

（四）题型演练

例1.一个等比数列的第3项某某4项分别是12和18，求它的第1项某某2项

解：设首项为a1，公比为q，则有

解得：
 所以 a2 = 8

例2 （P50页）：根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？（答案:课本51页）

例3.每次用相同体积的水洗一件衣服，且每次能洗去污垢的3/4，若洗n次后，存留的污垢在1%以下，则n的最小值为多少？（答案：最小值4次）

（设计意图：用三个数学建模深化等比数列概念在实际问题上的应用 ，加深学生对等比数列通项公式的理解应用，并提高学生的数学运算能力。）

（五）课堂检测：

在等比数列{an} 中，

（1）已知a1=3, q=-2, 求a6

（2）已知a3=20, a6=160, 求an

（3）已知a1+a2+a3=7, a1a2a3=8, 求an

（4）已知an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5

答案：（1） a6=-96 （2） an=5XXXXX2n-1

（3） an=2n-1 或 an=23-n (4) 5

（设计意图：检验学生等比数列通项公式和等比中项的掌握和应用）

（六）课堂小结：

（1）知识方面：

①等比数列的定义

②等比中项定义

③通项公式的推导及简单应用

（2）数学思想方法：类比归纳 （逻辑推理）

（七）课后作业：

（1）课本P53习题2.4[A组]的第1、2题

（2）思考:

①在等比数列{ an } 中，am与am an (n>m)之间有什么关系?

②在等比数列{ an } 中，若m,n,r,s∈ N *，且m+n=r+s，

那么，am 、 an 、 ar 、as 这些项与项之间满足什么关系？

(3)拓展

给你一张足够大的纸假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折51次的时候，所达到的厚度？

猜一猜：得到大约是地球与太阳之间的距离？

(4)用数列寓意：差之毫厘，谬以千里！

0.99、0.992、0.993------0.99365 0.99365=0.03

1.01、1.012、1.013 ----1.01365 1.01365=37.8

（设计意图：（1）基本公式的训练；（2）为下一节课学习确立目标；(3)、(4)应用等比数列解决实际问题并激励学生珍惜每一天，好好学习）

五、板书设计

等比数列

PPT 一、定义 四、课堂练习

--- 1 2

--- 二、等比中项

--- 3 4

26张 三、通项公式

六、教学反思

通过多媒体课件的形式，创设情境：其丰富的色彩、生动画面增强了授课内容的可视性、趣味性、可理解性，激发了学生学习兴趣。在精选例题和练习中，由师生互动、合作探究，类比获得等比数列定义、等比中项和等比数列通项公式。培养了学生的类比推理能力，使数学核心素养在数学学习过程中潜移默化。回顾整个教学过程，值得注意是：

1．学生已经具备一定的观察、归纳、猜想、总结能力，掌握了等差数列知识，在教师的引导下，学生完全可以猜想出推导等比数列通项公式的大体思路，采用“类比”的方法，一举推导出等比数列，加速了思维过程。使学生在课堂上真正在探索学习，探求解决问题的方法---类比推理．在这里“教”是“启发、引导”，“学”是给学生充分时间“想”和“说” ，遵重“重视知识的产生、发展与深化过程”的教学理念。

2．本节课注重基础知识的产生，注重基本技能的落实。经过课堂的训练，学生对等比数列有了深刻理解和掌握，作业情况良好。

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