3.2.2 复数代数形式的乘除运算

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3.2.2　复数代数形式的乘除运算第三章　§3.2　复数代数形式的四则运算知识点一　复数的乘法及其运算律思考　答案　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.怎样进行复数的乘法运算？梳理(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积

(a＋bi)(c＋di)＝ .

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3知识点二　共轭复数当两个复数的 ， 时，这两个复数叫做互为

，z的共轭复数用 表示.即z＝a＋bi，则 ＝ .实部相等虚部互为相反数共轭复数a－bi知识点三　复数的除法法则思考　答案　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，类型一　复数代数形式的乘法运算例1　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝____.解析　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.－34＋2i设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4，

∴z2＝4＋2i.(1)两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；最后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.

(2)常用公式

①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

③(1±i)2＝±2i.类型二　复数代数形式的除法运算A.M B.N

C.P D.Q√解析　由图可知z＝3＋i.故选D.(1)两个复数代数形式的除法运算步骤

①首先将除式写为分式；

②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.

(2)常用公式√类型三　共轭复数5＋i当堂训练A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i√2.设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是

A.i B.i2

C.i3 D.i4√解析　z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.

∵z1·z2为纯虚数，得m＝－1，∵i2＝－1，

∴实数m可以是i2，故选B.－1＋2i1.复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.

2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.

3.复数问题实数化思想.

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.

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