宽城一中梁某某《椭圆及其标准方程》

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椭圆及其标准方程教学设计

宽城一中 梁某某

教材分析

解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。

在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

教学目标：

（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．

（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

教学难点：椭圆标准方程的推导．

教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

教学过程：

复习回顾：求曲线方程的步骤？

建系、设点、列式、化简、得方程（验证）

动手试试：

在白纸上标2个点,取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，这是笔尖画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线呢？在这个过程中，你能说出移动的笔尖满足的几何条件么？

三、新课讲解

1、定义：我们把平面内与两个定点
的距离的和等于常数（大于
）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

集合表示：

注意：平面内点M与两定点
的距离和为一个常数（记
）

当
时，点M的轨迹为椭圆

当
时，点M的轨迹为线段

当
时，点M无轨迹

2、求椭圆的标准方程

问题：如图已知焦点为
的椭圆，且
,对椭圆上任一点M，有

?

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

先以焦点在X轴为例：

列式：
?? ∴

化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）

两边平方，得：

即

两边平方，得：

整理，得：

令
，则方程可简化为：

整理成：

指出：方程
叫做椭圆的标准方程，焦点在
轴上，焦点是

讨论：如果以
所在直线为
轴，线段
的垂直平分线为
轴，建立直角坐标系，焦点是
，椭圆的方程又如何呢？（教师引导，由同学们独立完成）

教师指出焦点在y轴上的椭圆标准方程为

总结得出下表
（教师和同学一起完成）

标准方程







图形



?



a,b,c关系







焦点坐标







焦点位置

在x轴上

在y轴上



注意:（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：

；

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。

随堂小练：判断下列椭圆焦点所在位置

（1）
（2）

四、例题解析

例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0），（2,0），并且经过点
，求椭圆的标准方程

解：因为椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为

所以
，又因为
，所以

所以椭圆的标准方程为

例2、若方程
表示椭圆，求
的取值范围？

例3、

为椭圆
上一点，
到一个焦点的距离为4，求
到另一个焦点的距离?

椭圆
的两个焦点分别为
，过
的直线交椭圆于某某
，求三角形
的周长？

(3) 将圆
的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。

五、课堂小结

（1）椭圆的定义及其标准方程；

（2）标准方程中
的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系

六、教学反思：

本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征。多媒体创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新.

学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究.

在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.

在对教材中“令
”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当
为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换.

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