《课题学习_设计制作长方体形状的包装纸盒》名师教案
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4.4 课题学习 （张某某）
设计制作长方体形状的包装纸盒
一、教学目标
（一）学习目标
1.巩固立体图形的展开图，进一步体会立体图形与平面图形的相互转化；
2.设计制作长方体形状的包装纸盒.
（二）学习重点
设计制作长方体形状的包装纸盒.
（三）学习难点
长方体形状的包装纸盒的平面设计.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）设计制作长方体形状的包装纸盒，要先绘制长方体的平面展开图，再把它剪出并拼成
长方体．
（2）本课题的学习，旨在进一步体会平面图形与立体图形之间的相互转化．
预习自测
（1）下图图形是为某正方体物品准备的包装纸盒的展开图，其中经过折叠不能围成正方体纸盒的是 ( )
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：由正方体的11种展开图对比判断，D不是正方体的展开图，故选D.
【思路点拨】由正方体的11种展开图对比判断.
【答案】D.
（2）把图中的硬纸片沿虚线折起来，便可成为一个正方体，这个正方体3号面的对面是（ ）号面．
A.5 B.4 C.2 D.1
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴1与2相对，3与4相对，5与6相对．故选B．
【思路点拨】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【答案】B．
（3）如下图是正方体的展开图，在顶点处标有1～11个自然数，当折叠正方体时，6与哪些数重合（ ）
A.7，8 B.7，9 C.7，2 D．7，4
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：正方体的展开图折叠后，数8、9、1重合，10和11重合，3和5重合，6、7、2重合．故选C．
【思路点拨】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
【答案】C．
（4）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张.
【知识点】：作图——应用与设计作图；整式的混合运算
【思路点拨】：因为长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．
【解题过程】：需A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．如图所示：
【答案】：需A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）长方体有6个面，12条棱，8个顶点.
（2）正方体的展开图有11种.
（3）球没有平面展开图（填“有”或“没有”）
2.问题探究
探究一 探究设计制作正方体纸盒的平面图
●活动①
师问：下列图形是四位同学制作正方体纸盒而设计的平面图形，其中设计正确的是_____（填序号）．请问：你能判断谁的设计正确吗？
学生举手抢答.
师问：你判断的根据是什么？
学生举手抢答：正方体的展开图.
总结：因为只有③是正方体的平面展开图，所以经过折叠能围成正方体的只有③，不能够折叠成正方体的有①②④.
【设计意图】本题复习考查正方体展开图折叠成正方体的知识点，注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．让学生体会立体图形与平面图形的相互转化.
探究二 探究设计制作长方体纸盒的平面图★▲
●活动①
学生自主学习课本142、143页.
师问：要制作长方体形状的包装纸盒，我们第一步需做什么？
学生举手抢答：设计长方体平面图形.
师问：在课题学习中，下列图形是四个小组制作长方体纸盒而设计的平面图形，其中有几个小组设计正确，可顺利完成制作任务？
学生举手抢答.
总结：制作长方体形状的包装纸盒，我们首先需设计长方体平面展开图.第一个图形缺少一个面，不能围成长方体；第三个图形折叠后底面重合，不能折成长方体；第二个图形，第四个图形都能围成长方体．故有两个小组．
【设计意图】制作长方体纸盒的难点是设计平面图形，通过辨析长方体的平面展开图，为顺利完成制作任务打基础.
●活动② 探究制作一个无盖的正方体包装盒的平面图设计方法▲
师问：我们要制作一个无盖的正方体包装盒，如何设计其平面展开图？这样的平面展开图共有几种？
学生活动：小组讨论交流,展示设计方案.
总结：制作一个无盖的正方体包装盒，设计其平面展开图共有8种.因为正方体共有11种表面展开图，把11种展开图都去掉一个面得无盖的正方体展开图，把相同的归为一种得无盖正方体有8种表面展开图．
【设计意图】 设计此问题再一次体会正方体的展开图与立体图形的关系.正方体共有11种表面展开图，把11种展开图都去掉一个面得无盖的正方体展开图，把相同的归为一种得无盖正方体有8种表面展开图．
探究三 运用知识解决问题★▲
●活动①
例1.如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是（ ）
A.0 B.2 C.数 D.学
【知识点】立体图形与平面图形.
【解题过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“数”相对的字是“1”；“学”相对的字是“2”；“5”相对的字是“0”．故选A．
【思路点拨】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【答案】A．
练习：如图是正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C的三个数依次是( )
A．-1、2、0 B．0、2、-1 C．2、0、-1 D．2、-1、0
【知识点】立体图形与平面图形.
【解题过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“A”相对的字是“-1”；“B”相对的字是“2”；“C”相对的字是“0”．故选A．
【思路点拨】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【答案】A
【设计意图】通过找正方体相对面的数字问题，进一步体会正方体与其展开图的转化.
●活动2
例2.如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：
（1）与字母N重合的点是哪几个？
（2）若AG=CK=14cm，FG=2cm，LK=5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
【知识点】立体图形与平面图形.
【解题过程】解：（1）与N重合的点有H，J两个；
（2）由AG=CK=14cm，LK=5cm，可得CL=CK㧟LK=14㧟5=9cm，
长方体的表面积：2XXXXX（9XXXXX5+2XXXXX5+2XXXXX9）=146cm2；体积：5XXXXX9XXXXX2=90cm3．
【思路点拨】（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与N重合的点即可；
（2）由AG=CK=14cm，FG=2cm，LK=5cm，可得CL=CK㧟LK=14㧟5=9cm，再根据长方体的表面积和体积公式计算即可．
【答案】（1）与N重合的点有H、J两个；（2）长方体的表面积：，体积：．
练习：如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体后．
（1）和数字1所在的面相对的面是哪个数字所在的面？
（2）若FG=3cm，LK=8cm，EI=18cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
【知识点】立体图形与平面图形.
【解题过程】解：（1）和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面；
（2）DI=EI㧟FG=18㧟3=15cm，
（3XXXXX8+3XXXXX15+8XXXXX15）XXXXX2=378cm2，
3XXXXX8XXXXX15=360cm3，
答：该长方体的表面积和体积分别是378 cm2，360 cm3．
【思路点拨】（1）把展开图折叠成一个长方体，即可解答；
（2）由FG=3cm，LK=8cm，EI=18cm，可得长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积和体积公式计算即可．
【答案】 （1）和数字1所在的面相对的面是数字3所在的面；
（2）表面积和体积分别是378，360．
【设计意图】例2及练习的设计，目的考查由长方体展开图折叠成长方体，通过计算表面积与体积，培养学生的空间想象能力．
●活动3
例3.把如图所示的展开图折成一个长方体．
（1）如果A面在底部，那么 面在上面．
（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么 面在上面．
（3）如果要求这个长方体的表面积和体积，至少要量出 边的长度．
【知识点】立体图形与平面图形.
【解题过程】解：（1）如果A面在底部，那么F面在上面．
（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么C面在上面．
（3）如果要求这个长方体的表面积和体积，至少要量出三条边的长度．
故答案为：F；C；三条．
【思路点拨】 根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．再根据长方体展开图的特点进行解答．因为长方体的长、宽、高决定了长方体的形状和大小，所以至少量出三条边的长度．
【答案】（1）F；（2）C；（3）三条.
练习：如图，是一个正方体纸盒的展开图，它剪开了 条棱．
【知识点】立体图形与平面图形.
【解题过程】解：如图，
是一个正方体纸盒的展开图，它剪开了7条棱．
故答案为：7．
【思路点拨】这是正方体展开图的“1㧟3㧟2”型，正方体有12条棱，展开图中正方形相邻的两条边组成正方体的一条棱，此图中有5条正方体的棱，它剪开了12㧟5=7（条）棱．
【答案】7．
【设计意图】例3与练习设计长方体与正方体平面图形与立体图形之间的相互转化，进一步培养学生的空间想象能力，同时懂得要计算长方体的表面积与体积，需知道长方体的形状，即要长、宽、高这三个条件.
3.课堂总结
知识梳理
（1）立体图形的展开图，进一步体会立体图形与平面图形的相互转化.
（2）设计制作长方体形状的包装纸盒.
重难点归纳
（1）长方体、正方体的平面图形.
（2）设计制作长方体形状的包装纸盒，难点是平面图形的设计.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1．下列平面图形经过折叠后，能围成正方体的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：由正方体的展开图可知：4个图形都能围成正方体．故选：D．
【思路点拨】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
【答案】D．
2.下列图形中，经过折叠能围成左图的正方体纸盒的是（ ）
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：经过折叠能围成正方体纸盒的是选项B．
故选：B．
【思路点拨】由正方体中带符号的正方形的位置可知：展开后一定有两个带符号的正方形相
邻，且三个不在一条线上，由此选择答案即可．
【答案】B．
3.想想看：下面的图形中 是正方体的展开图（只要填序号）
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：由正方体的展开图的特征可知，图形中（1）、图形中（4）、图形中（5）、图形中（6）都是正方体的展开图；图形中（2）出现了“凹”字，图形中（3）出现了“田”字，不能围成正方体．故（1）（4）（5）（6）是正方体的展开图．
故答案为：（1）（4）（5）（6）．
【思路点拨】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意带“田”“凹”字的不是正方体的平面展开图．
【答案】（1）（4）（5）（6）．
4.一个正方体纸盒的展开图如图，若将它折叠成正方体后，相对的面上的未知数是已知数的2倍，则（a+b）XXXXXc的倒数是 ．
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】 解：=1XXXXX2=2，=2XXXXX2=4，=3XXXXX2=6，
=（2+4）XXXXX6=6XXXXX6=36；
36的倒数是．故答案为：．
【思路点拨】把这个图再折成正方体时，面1与面相对，面2与面相对，面3与面相
对，由此分别求得、、的值，并代入求得结果后取倒数即可．
【答案】．
5.如图，一个正方体纸盒的表面展开图，去掉其中一个正方形，可以折成一个无盖的正方体盒子，去掉的这个正方形的编号是 （只填1个）．
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】 解：该正方体中1与4相对，3与5相对，2与6相对，故去掉的这个正方形的编号可以是1．
【思路点拨】首先能想象出来正方体的展开图，利用正方体的相对面解答问题.
【答案】1.
6.如图是边长为1的六个小正方形组成的平面图形，经过折叠能围成一个正方体，那么点A、B在围成的正方体上相距（ ）
A．0 B．1 C． D．
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，故此AB=1．
故选B．
【思路点拨】将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离．
【答案】B．
能力型 师生共研
1.将一个正方体展开图画上一些图案（如图），如果将这个图形折叠起来围成一个正方体，应该得到下图中的哪一个呢？为什么？请大家先想一想，再回答这个问题．
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】 解：观察图形可知，两个带圆圈图案的面相对，所以A、B错误；
C中，三角形的位置错误．故应该得到图中的D．
【思路点拨】本题以小立方体的展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．在本题的解决过程中，学生可以通过动手进行具体折纸、翻转活动作答．
【答案】D．
2.如图是一个长方体的表面展开图，求这个长方体的表面积和体积．（单位：厘米）
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：长方体的长是10厘米，宽是15厘米，高某某（32㧟10XXXXX2）XXXXX2=6（厘米），
表面积为：10XXXXX15XXXXX2+10XXXXX6XXXXX2+15XXXXX6XXXXX2=300+120+180=600（平方厘米）；
体积为：10XXXXX15XXXXX6=900（立方厘米）．
答：表面积为600平方厘米，体积为900立方厘米．
【思路点拨】由展开图得出长方体的长是10厘米，宽是15厘米，高某某（32㧟10XXXXX2）XXXXX2=6（厘米），再根据长方体表面积=长XXXXX宽XXXXX2+长XXXXX高XXXXX2+宽XXXXX高XXXXX2；长方体体积=长XXXXX宽XXXXX高，计算即可．
【答案】表面积为600平方厘米，体积为900立方厘米．
探究型 多维突破
1.现实生活中，我们常常能见到一些精美的纸质包装盒．现有一正方体形状的无盖纸盒，在盒底上印有一个兑奖的标志“吉”字，如图1所示．现请同学们用剪刀沿这个正方体纸盒的棱将这个纸盒剪开，使之展开成一平面图形．那么，能剪出多少种不同情况的展开图呢？请把剪开后展成的平面图形画出来，要求展开图中的标志“吉”字是正立着的．（其中一种的展开情况如图2，至少再画出六种不同情况的展开图）
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】 解：能剪出8种不同情况的展开图，作图如下：
【思路点拨】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题．正方体共有11种表面展开图，把11种展开图都去掉一个面得无盖的正方体展开图，把相同的归为一种得无盖正方体有8种表面展开图．
【答案】能剪出8种不同情况的展开图，作图如下：
2.如图是长方体的展开图，根据有关数据，求出这个长方体的表面积和体积．
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：（8XXXXX6+8XXXXX3+6XXXXX3）XXXXX2=（48+24+18）XXXXX2=90XXXXX2=180（dm2）
8XXXXX6XXXXX3=144（ dm3）
答：表面积是180dm2，体积是144dm3．
【思路点拨】由图意可知：这个长方体的长、宽、高分别为8分米、6分米和3分米，分别利用长方体的表面积公式和长方体的体积公式，即可求出其表面积和体积．
【答案】表面积是180dm2，体积是144dm3．
自助餐
1.下面几何体的表面不能展开成平面的是（ ）
A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.球
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：A.正方体表面展开成六个正方形，展开成平面，不符合题意；
B.圆柱表面展开成一长方形和两个圆，展开成平面，不符合题意；
C.圆锥可以展开成一个扇形和一个圆，展开成平面，不符合题意；
D.球不能展开成平面图形，符合题意．
故选D．
【思路点拨】首先能想象出来柱体、锥体表面展开图，球不能展开成平面图形，依此作出判断．
【答案】D．
2.如图是一个正方形的展开图，围成正方体后，与3相对的面是（ ）
A.2 B.5 C.6 D.1
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：1和5面相对，4和2面相对，3和6面相对；故选C．
【思路点拨】根据正方体的特征可知：1和5面相对，4和2面相对，3和6面相对，发挥空间想象能力，据此分析选择．
【答案】C．
3.在下面横线上填写下列实物所用包装盒的形状．实物：(1)香烟；(2)桶装方便面；(3)固体胶．包装盒的形状：(1) _________；(2) _________； (3) _________．
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：（1）长方体；（2）圆台；（3）圆柱.
【思路点拨】观察、联想，找实物与立体图形的联系.
【答案】（1）长方体；（2）圆台；（3）圆柱.
由图中正方体的展开图可折叠成的正方体是________．
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：图形B、C、D是正方体的展开图；故选：B、C、D．
【思路点拨】正方体能展开得到展开图，同样也可由展开图折成正方体；把中间四个正方形
折起围成一个桶，构成正方体的四个侧面，两个斜线构成夹角顶点在下面，上盖有实心圆，
下盖是空心圆，如B、D；折叠后翻转可得到C图形，即可得解．
【答案】B、C、D．
5.如图，把一个长方体的礼品盒用丝带打上包装，打蝴蝶结部分需丝带45厘米，那么打好整个包装所用丝带总长为多少厘米？
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：（15+10）XXXXX2+12XXXXX4+45，
=25XXXXX2+48+45，
=50+48+45，
=143（厘米）；
答：打好整个包装所用丝带总长为143厘米．
故答案为143．
【思路点拨】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．由图形可知，所用丝带的长度等于长方体的两条长、两条宽、4条高总和加上打结用的45厘米．
【答案】143厘米．
6.如图所示，将一个长方体平均截成3段，每段长是2米，表面积增加了20平方米．求原来长方体的体积是多少立方米？
【知识点】立体图形与平面图形.
【数学思想】
【解题过程】解：20XXXXX4XXXXX（2XXXXX3）=5XXXXX6=30（立方米）；
答：原来长方体的体积是30立方米．
【思路点拨】由题意可知，将一个长方体平均截成三段，每段长2米，即长方体的高某某
2XXXXX3=6米，表面积增加20平方米，也就是增加了4个截面的面积，每个截面的面积（长方
体的底面积20XXXXX4）是5平方米，根据长方体的体积公式v=sh，列式解答即可．
【答案】原来长方体的体积是30立方米．
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