2019年普通高等学校招生第一次统一模拟考试 理科数学 参考答案
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2019 年普通高等学校招生第一次统一模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B D A D C A B B C 二.填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13. 48 3 ; 7 1 14. ; 15. ; 25 2e2 16. ① ② ③ . 三 . 解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分） 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 ? 1 ， an = 3Sn-1 + 1 前 n项某某， n鹞N*. （ n 鸪 2 )，其 中 Sn 为 {an} 的 （ Ⅰ ） 求 an ； （ Ⅱ ） 若 数 列 {bn}满 足 bn = (1 + 1 log4an )(3 + ， log4an ) {bn}的 前 n 项某某 为 Tn ， 且 对 任 意 的 正 整 数 n 都 有 Tn ? m ， 求 m 的 最 小 值 ． 解 ：（ Ⅰ ） ∵ an = 3Sn-1 + 1 ， n 鸪 2 ， ∴ an+1 = 3Sn + 1 两式相减得 an+1 - an = 3an , n 鸪 2 ∴ an+1 = 4an , n 鸪 2 高三理科数学答案 第 1 页 （共 8 页） 注意到 a1 ? 1， a2 = 3Sn + 1 = 4 ， 于是 "n ³ 1 , an+1 = 4an ，所以 an = 4n-1 . ------------6 分 （Ⅱ） bn ? 1 n(n ? 2) ? 1 2 (1 n ? n 1 ? ) 2 T = 1 [(1 - 1 ) + 1 ( - 1 ) + 1 ( - 1 ) + × × × + 1 ( - 1 )] n 2 3 24 35 n n+2 ∴ Tn ? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ) ? 2 2 n?1 n? 2 3 4 所以 m 的最小值为 3 . 4 -------------------------------12 分 18．（本小题满分 12 分） 2017 年 两 会 继 续 关 注 了 乡 村 教 师 的 问 题 ,随 着 城 乡 发 展 失 衡 ,乡 村 教 师待遇得不到保障 ,流失现象严重 ,教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问 题,为此 ,某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师 ,现在每招 聘一名教师需要 2 万元 ,若三年后教师严重短缺时再招聘 ,由于各种因素 ,则 每招聘一名教师需要 5 万元 ,已知现在该乡村中学无多余教师 ,为决策应招 聘 多 少 乡 村 教 师 搜 集 并 整 理 了 该 市 100 所 乡 村 中 学 在 过 去 三 年 内 的 教 师 流 失数 ,得到右面的柱状图 :记 x 表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师 数,y 表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用 (单位 :万 元 ),n 表 示 今 年 为 该 乡 村 中 学 招 聘 的 教 师 数 ,为 保 障 乡 村 孩 子 教 育 不 受 影 响 , 若未来三年内教师有短缺 ,则第四年马上招聘 . 高三理科数学答案 第 2 页 （共 8 页） （ Ⅰ ） 若 n=19,求 y 与 的 函 数 解 析 式 ； （ Ⅱ ）若 要 求 “ 流 失 的 教 师 数 不 大 于 n” 的 频 率 不 小 于 0.5 ,求 n 的 最 小 值； （ Ⅲ ） 假 设 今 年 该 市 为 这 100 所 乡 村 中 学 的 每 一 所 都 招 聘 了 19 个 教 师 或 20 个 教 师 ,分 别 计 算 该 市 未 来 四 年 内 为 这 100 所 乡 村 中 学 招 聘 教 师 所 需 费 用 的 平 均 数 ,以 此 作 为 决 策 依 据 ,今 年 该 乡 村 中 学 应 招 聘 19 名 还 是 20 名 教师? 解 ： （ Ⅰ ） 当 x≤19 时 ， y=20000× 19=380000； 当 x>19 时 ， y=380000＋ 50000(x－ 19) =50000x－ 570000. ∴ y= ìïïíïïî***00,x-570000, (x £ 19,x Î N ) (x > 19,x Î N ) (Ⅱ) 由柱状图知，流失的教师数不大于 18 的频率为 0.46；流失的教师数不大于 19 的频率为 0.7，所以 n 的 最 小 值 为 19. (Ⅲ)若每所乡村中学在今年都招聘 19 名教师,则未来四年内这 100 所乡村中学中有 70 所在招聘教师上费用为 38 万元,20 所的费用为 43 万元,10 所的费用为 48 万元,因此这 100 所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为 : 高三理科数学答案 第 3 页 （共 8 页） 1 (38 ´ 70 + 43 ´ 20 + 48 ´ 10) = 40 万元. 100 若每所乡村中学在今年都招聘 20 名教师,则这 100 所乡村中学中有 90 所在招聘教师 上的费用为 40 万元,10 所的费用为 45 万元,因此未来四年内这 100 所乡村中学在招聘教 师上所需费用的平均数为 1 (40 ´ 90 + 45 ´ 10) = 40.5 万元.比较两个平均数可 100 知,今年应为该乡村中学招聘 19 名教师. 19．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C: x2 a2 ? y2 b2 ? 1?a ?b ? 0?的 左 、 右 焦 点 为 F1 、 F2 , 右 顶 点 为 A, 上 顶 点 为 B ， 直 线 BF2 交 椭 圆 C 于 另 一 点 D ， 若 椭 圆 C 的 焦 距 为 2 ， 且 BF2 ? 2F2D . （Ⅰ）求椭圆 C的方程； （ Ⅱ ） 设 P 是 椭 圆 C 上 不 同 于 A 、 B 的 点 ， 直 线 PA 与 y 轴 交 于 点 M , 直 线 PB 与 x 轴 交 于 点 N ， 求 证 ： AN 鹱 BM 为 定 值 . 解 ：（ Ⅰ ） 由题意知 B?0,b?， F2 ?1,0?,设 D?x, y? 则 BF2 ? ?1,?b?， F2D ? ?x ?1, y? ∵ BF2 ? 2F2D ， 餦 痨1 ? 2?x ?1? 痦 痤 ?b ? 2y ，即 痨 痫 痦 痫 3 x? 2 y??b 痤2 代入得： 9 4a2 ? b2 4b2 ? 1,解得 a2 ?3 高三理科数学答案 第 4 页 （共 8 页） x2 y2 所以椭圆 C : ? ? 1 32 ---------------------------5 分 ? ? ? ? （ Ⅱ ） A 3,0 , B 0, 2 , 设 P?x0, y0 ?，则 2x02 ? 3y02 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 a 茫?1 时 f(x) = ìïïïïíïïïïî-aa a-+-11,1-(,x(2x£x,³(--a11))< x < a) 若 f(x) £ 2 ，则 a + 1 £ 2 ，即 a £ 1 . 当 a
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