3.1.3导数的几何意义 教案

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XXXXX3.1.3导数的几何意义

项目

内容



课题

（1课时）

备注



教学目标

1．了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程．





教学重、难点

重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

难点：对导数几何意义的理解．





教学准备

多媒体课件

[ 学。科。网]



教学过程

一、导入新课：[来

我们在初中学习圆的切线时知道，当直线和圆有唯一的公共点时，直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广到一般曲线的切线呢？即是否“当直线和曲线有唯一的公共点时，直线叫做曲线过该点的切线”？显然这种推广是不妥当的．如图中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y＝sinx.直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C不止有一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线，那么如何求出这样的切线呢？

我们已经学习了平均变化率、导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数sXXXXX(t0)，就是物体在t0时刻的瞬时速度．我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数
的几何意义是什么呢？

二、讲授新课：

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当
沿着曲线
趋近于点
时，割线
的变化趋势是什么？

我们发现,当点
沿着曲线无限接近点P即XXXXXx→0时,割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：割线
的斜率
与切线PT的斜率
有什么关系？切线PT的斜率
为多少？

容易知道，割线
的斜率是
,当点
沿着曲线无限接近点P时，
无限趋近于切线PT的斜率
，即

说明：（1）设切线的倾斜角为XXXXX,那么当XXXXXx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在
处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

（二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点
处的切线的斜率，

即

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点
处的变化率
，得到曲线在点
的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程y-f(x0)＝fXXXXX(x0)(x－x0)．

（二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当
是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：
或
，

即:

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数
在点
处的导数
、导函数
、导数 之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数
，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 。

(3）函数
在点
处的导数
就是导函数
在
处的函数值，这也是 求函数在点
处的导数的方法之一。

三．例题分析

例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

（2）求函数y=3x2在点
处的导数.

（3）求函数f(x)=
在
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：（1）
,

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为
即

（2）因为

所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为
即

（3）解：

例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

，根据图像，请描述、比较曲线
在
、
、
附近的变化情况．

解：我们用曲线
在
、
、
处的切线，刻画曲线
在上述三个时刻附近的变化情况．

当
时，曲线
在
处的切线
平行于
轴，所以，在
附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

当
时，曲线
在
处的切线
的斜率
，所以，在
附近曲线下降，即函数
在
附近单调递减．

当
时，曲线
在
处的切线
的斜率
，所以，在
附近曲线下降，即函数
在
附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线
的倾斜程度小于直线
的倾斜程度，这说明曲线在
附近比在
附近下降的缓慢．

例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度
(单位：
)随时间
（单位：
）变化的图象．根据图像，估计
时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到
）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度
在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线
在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作
处的切线，并在切线上去两点，如
，
，则它的斜率为：

所以

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

0.2[ ]

0.4

0.6

0.8



药物浓度瞬时变化率

0.4

0

-0.7

-1.4



四．课堂练习

1．求曲线y=f(x)=x3在点
处的切线；

2．求曲线
在点
处的切线．

五．拓展训练

电子白板给出问题，先练某某。

课堂小结：

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义。

布置作业：

P.80 3,4,6





板书设计

XXXXX3.1.3导数的几何意义

①曲线的切线及切线的斜率;②导数的几何意义;③导函数的概念

④函数
在点
处的导数
、导函数
、导数 之间的区别与联系。

例1

练习

1．求曲线y=f(x)=x3在点
处的切线；

2．求曲线
在点
处的切线．



教学反思

导数的几何意义是后面导数应用的基础，教学时需结合图形进行分析，以让学生更好地理解和把握这一结论。“以直代曲”是后面单调性与导数关系的基础，教学时可结合多媒体进行图像放大展示，使学生理解在切点附近，曲线与切线非常接近。





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