平面向量说课 （邢台一中杨某某）
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当“数学核心素养” 遇上“平面向量”
*_**学 杨某某
一、教材地位和设计思想
向量是近代数学中重要的数学概念之一，它有着深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，是沟通几何和代数的桥梁。平面向量的概念引入后，全等、相似、平行、垂直、距离、夹角、面积等就可转化为平面向量的加减法、数乘、数量积等运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算，突出几何直观与代数运算之间的融合，使学生感悟到数学知识之间的关联，同时也为以向量为工具解决解析几何和立体几何问题做下铺垫。
向量理论具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景。在平面向量的教学中，应从力、速度、位移等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则。比如：引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性和差异。通过力的分解引出平面向量基本定理，建立基底的概念和向量的坐标表示。通过力的做功引出向量的数量积。整个教学过程，需要老师不断引导学生由已知到未知，由特殊到一般，由具体到抽象地经历新知识的生成过程。
二、教学思维导图与重、难点
教学重点：向量的基本概念以及向量的运算及运算律
教学难点：向量的运算及运算律
三、学情分析与课程目标
“数学好玩”曾经是数学家陈某某先生对数学的赞美，但现在很多高中生已经难以感受数学所特有的魅力了。这是很值得我们去思考的。课程改革进行了多年，学生的学习方式得到一定的改善。但高中数学在高考的主导作用下，学生的学习方式、方法还是显得单一、被动。狂刷习题、频繁演练成为很大一部分学生学习数学的常态，学生缺乏自主的、生动的、多样化的学习是不争的事实。而这显然是不符合“四基”要求的。
高中数学新课程目标由原来的“双基”发展到“四基”，即在原来基础知识和基本技能的基础之上又添加了基本思想和基本活动经验。从数学自身来看，“双基”更多的是对数学概念、定理、公式等结论性知识的反映，但其背后更深层次的东西是什么呢？数学的本质不在于它的结论而在于它的思想。数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给学生以更多数学思想、精神的浸润。
下面，结合着《平面向量》这一章的内容，我来说一下从“四基”角度拓展课程，将“培养数学核心素养”的目标融入具体的教学设计时自己的一些想法和尝试。
四、核心素养与平面向量
数学学科核心素养《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模、数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立又互相交融，是一个有机的整体。
1、数学抽象与平面向量
通过数学发展史我们可以看到，数学概念的产生离不开抽象。抽象首先是基于现实的，通过现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到数学的基本概念，而后符号化、形式化。数学概念的形成通常经历两种不同层次的抽象过程：一种是在数学内部，对已有数学概念的进一步的抽象结果；另一种是从数学外部的事物出发，经过数学化抽象出数学概念。结合《平面向量》的具体知识，我分别举一个例子进行阐述。
【示例1】
向量的概念就是类比数量的概念而产生的，这样的抽象过程属于前一种。学生很早就已经对数量有了直观的认识，于是提出问题：仅用数量去描述客观世界，够不够？比如，在荒漠里，有人说距离我目前所在地500米的地方有水源，我能找到么？再比如，实验要求对物体施加10N的拉力，往哪个方向拉？
数量
向量
年龄
力
身高
位移
路程
速度
面积
加速度
质量
动量
功
场强
只有大小，没有方向的量
既有_____，又有_____的量
【示例2】
向量数量积的概念的引入过程是以物理中物体受力做功为背景的，这样的抽象过程属于后一种。教学初始创设情境，视频播放世界超级大力士比赛，请大家帮大力士想办法如何拉最省力，唤起学生的兴趣和主动性。实践证明，创设情境和设置探究问题是数学活动的灵魂。
物体在拉力的作用下发生运动，力F在位移S方向上的分力与位移的乘积，叫做功。功是一个标量，它用力和位移两个矢量来定义，反映在数学上就是向量的数量积。
2、逻辑推理与平面向量
创新始于问题。在探究中要培养学生的问题意识，启发、引导学生在不同的对象间通过类比、归纳推理去提出问题，提出猜想，再做出证明。
【示例1】
类比实数乘法的运算律，引导学生对于向量的数量积的运算律提出可探究的问题。分小组讨论，合作交流。重视知识的生成过程，培养学生的数学表达的能力，使他们能够用准确的数学语言表述论证过程，或者举反例说明不成立。
实数乘法的运算律（）
向量数量积的运算律
【示例2】
此例演绎了对向量的一个重要结论的探究过程。
首先引导学生先从几个具体的等分点入手，用不完全归纳的方式先猜出结论，再利用多媒体和几何画板演示更加一般的位置情况时是否有相同的结论，进而证明。
在命题教学、问题解决教学中，我们要善于对教学素材进行“猜想---证明”式的探索加工，引导学生经历发现结论、证明结论的全过程，使学生通过观察、实验、比较、分析、抽象概括、推理证明等多种活动，在相互之间交流，对学习对象蕴含的数学本质和规律进行思考，做出判断，不断提高学生的数学思维品质。
以往的概念以及定理教学，多多少少都存在“轻来龙去脉、重类型强化，轻结论探索、重结论运用”的所谓“高效教学”倾向，长此以往是不利于数学学科核心素养发展的。在当前，越来越多的人已经开始看清在数学教学中培养学生创新意识和能力是必需的、可行的。其中，以归纳类比推理做出猜想，以演绎推理做出证明已逐渐成为数学教学中培养学生创新精神的重要方法。因此，充分发挥不同推理形式在数学探究活动中的功能应是我们今后努力的方向。
3、直观想象与平面向量
在数学学习中，很重要的一点就是培养学生的数学直观。因为数学的结论常常是“看”出来的。这种“看”，依赖的就是数学直观。直观想象的培养应该贯穿在整个高中数学教学的全过程，与其他核心素养相互联系和融合。
以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来，使得直观的几何关系代数化，抽象的运算及运算律直观化。下面5个示例就是以作图的方式给出了平面向量运算律的直观证明。
【示例1】
在平行四边形中利用平移变换帮助学生建立向量加法的运算律的直观想象。
【示例2】
在相似三角形中利用相似关系帮助学生建立向量数乘运算满足分配律的直观想象。
【示例3】
教学中利用几何画板来研究向量中的绝对值三角不等式，通过改变向量的位置，动态演示此不等关系，加强学生对此不等式的直观认识和理解。
【示例4】
结合图形以及向量数量积的几何意义，引导学生直观地感受向量数量积的分配律。
【示例5】
结合多媒体和几何画板的应用，使学生直观感知平面向量基本定理的内容和意义，为后续的正交分解和向量的坐标化运算做好铺垫。
华罗庚先生曾经说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。在平面向量的教学中，要让学生体会向量的运算及运算律与几何图形的性质有着紧密的联系，把他们有效地结合起来能使得直观的几何关系代数化，抽象的运算律直观化。
面对问题，要引导学生主动利用图形去描述和分析问题，借助几何直观直接把复杂的数学问题简明化，形象化。以“形”的直观呈现问题的各种信息，依托“形”的直观产生对数量关系以及事物其他本质属性的感知，寻求解决问题的思路。以上的教学设计，能够通过数学结论的直观背景和数学语言的清晰表达，揭示数学结论的本质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养。
4、数学运算与平面向量
运算与运算律是向量的灵魂，是连接数和形的纽带，它建立了运算与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何。运算是数学最基本、最主要的研究对象。在高中数学学习的课程中，学生不仅需要进一步发展数、代数式运算的能力，还需要学习新的运算对象------向量、复数等，感悟运算对象的多样性和数学运算应用的广泛性，从而感悟运算中所蕴含的逻辑推理，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
对于向量而言，如果没有运算，它只是个“路标”，有了运算，则它的力量无穷。向量的运算是沟通几何和代数的一架桥梁，它能将几何问题代数化，以数助形而入微。考查此类思想的高考题非常丰富，用向量的运算去解决，思路清晰，操作简单，下面是两个示例。
【示例1】
已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则的最小值为________．
【示例2】
平面向量的运算以及之后的空间向量的运算都是高考的考查重点，需要学生理解运算对象，探究“用代数的方法解决几何问题”的运算思路，掌握运算法则，求得运算结果。
教学反思
高中数学教学应以发展学生数学学科核心素养为导向，为学生创设合适的教学情境，启发学生思考；提倡自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣；要将实践和创新渗透于教学活动的环节中，注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性；改变过去仅凭试卷考试的单一评价方式，建立多元化的评价体系，比如采用数学档案袋、数学反思日记、数学作文、数学建模报告等。总之，培养学生数学学科的核心素养既要有求变的勇气和激情，更要有革新的头脑和智慧，并通过不懈的改革探索去实现。
六、教法学法与板书
情境创设法、问题探究法、分组研讨法、抽象归纳法、演绎证明法。
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