1.2《应用举例》

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1.2　应用举例(一)[学习目标]1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.

2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.

3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．在本章“解三角形” 引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？[知识链接]1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 .一般来说，基线越长，测量的精确度 .越高基线[预习导引]2.仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线 时叫仰角，目标视线在水平线 时叫俯角.(如下图所示)上方下方例1　如下图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，∠BAC＝α，∠ACB＝β.求A、B两点间的距离.要点一　测量可到达点与不可到达点间的距离解　在△ABC中，根据正弦定理，得规律方法　解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.跟踪演练1　如图，在相距2千米的A、B两点处

测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，

则A、C两点之间的距离为________千米.解析　由题意知C＝180°－A－B＝45°，例2　在某次军事演习中，红方为了准确分

析战场形势，在两个相距为 的军事基

地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处

和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，

∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离.要点二　测量两个不可到达点间的距离解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，

又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝ a.在△BCD中，∠DBC＝45°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为规律方法　测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.跟踪演练2　如下图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A、B两点间的距离是多少？解　应用正弦定理得在△ABC中，由余弦定理得1.如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)

A.a，c，α 　　 B.b，c，α

C.c，a，β 　　 D.b，α，γ解析　由α、γ可求出β，由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.故选D.D1232.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，

再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好

千米，那么x的值是________.解析　由余弦定理：得x2＋9－3x＝13，

整理得：x2－3x－4＝0，解得x＝4(x＝－1舍去).41233.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一

测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定

一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝

45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离.解　由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理123答　A、B两点间的距离为1231.解三角形应用题常见的两种情况

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解.课堂小结2.正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

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