基本不等式课件1

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3.4 基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考1：这个会标中含有哪些几何图形？思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ab1、正方形ABCD的

　　面积S=_____２、四个直角三角形的

　面积之和S’ = ＿＿３、S与S’有什么样

的不等关系？思考：S与S’有相等的情况吗？

探究一DBABCDE(FGH)ab当且仅当 时，等号成立 你能给出不等式 的证明吗？证明: 探究二：∴重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有

,当且仅当a=b时，等号成立.2.文字叙述: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 1.适用范围：在这个不等式中，如果 我们用

分别代替 ,会有什么样的结论？ 探究三替换后得到： 即：即：你能将下面的证明过程补充完整吗？在不等式 中，如果 我们用 分别代替 会有什么样的结论？探究三探究四 证明：要证 只需证①要证①，只需证②要证②，只需证③显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 证明不等式：探究四分析法证明： 证明不等式：探究四特别地，若a>0，b>0，则 ≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式 我们把 叫做两个正数a，b的算术平均数，

叫做两个正数a，b的几何平均数，所以又称

为均值不等式1.适用范围：a>0,b>0填表比较： 例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=yABDC若x、y皆为正数，

则当xy的值是定值P时，当且仅当x=y时，

x+y有最小值_______.例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为xy m2得 xy ≤ 81当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，

菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，

则当x+y的值是定值S时，

当且仅当x=y时，

xy有最大值_______；①各项皆为正数；

②和或积为定值；

③等号一定要成立.一“正”

二“定”

三“相等”利用均值不等式求最值，要满足的条件：1.已知 ，当 取何值时， 有最小值？最小值

是多少?

变形：

( 1)已知 ，当 取何值时， 有最大值？最大值是多少？

（2）已知 ，当 取何值时， 有最值？

练习练习

3.若 0

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