“破解突出问题”教学设计

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“破解突出问题”教学设计

用勾股定理解决折叠问题

翻折问题是近年来各地中考中的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及所学有关知识的灵活应用能力．一般翻折问题中，图形中往往会出现直角三角形，此时，若灵活运用勾股定理，可能使问题迎刃而解．

第一、原体呈现

（2015年广东省中考数学试题第21题）

如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE

对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.

(1) 求证：△ABG≌△AFG；

(2) 求BG的长.

第二、阐述题意

本题考查的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；

难点为：将分散的条件集中到有效的图形上进行解决。

关键点为： 用好直角三角形，利用方程思想解决问题。

本题通过翻折将全等变换，勾股定理运用，融进正方形，不失一道好题，很值得推敲。

第三、题目解答

第（1）问解法：(1) ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D=90XXXXX，AD=AB，

由折叠的性质可知

AD=AF，∠AFE=∠D=90XXXXX，

∴∠AFG=90XXXXX，AB=AF，

∴∠AFG=∠B，

又AG=AG，

∴△ABG≌△AFG（HL）.

第（2）问解法：

方法①——转化、方程思想 方法②——等面积法、方程思想

第四、总结提炼

这一类的翻折问题可用翻折引出的全等性质（等角、等边），将条件转化为某个直角三角形的三边，再应用勾股定理列方程解决问题。

题目涉及的数学思想方法有：转化、方程思想等。

第五、题目变式

（一）三角形的折叠

变式1：如图，小明折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=8，BC=6, 求CE的长。

变式2：将直角边BC沿直线BE折叠，使它落在斜边AB上，且与BD重合，若已知AC=8，BC=6,求CE的长。

变式1图 变式2图

（二）矩形的折叠

变式3：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，如图，AD沿着AE翻折后落在AC上，求EC的长度。

变式4：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，如图，AD沿着AE翻折后点D落在BC上，求EC的长度。

变式5：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，如图，AD沿着AC翻折，求EC的长度。

变式6：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，如图，翻折矩形ABCD，使点A与点C重合，求EC的长度。

变式7：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，如图，现将其折叠，使点D与点B重合，求折痕EF的长度。

变式8：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，如图，现将其折叠，使点D与点B重合，折叠后在其一面着色（如图），求着色部分（即五边形ABC’FE）的面积。

变式9：已知矩形ABCD在平面直角坐标系中，A（0，3），D（4，3），将矩形ABCD沿EF翻折后点D落在点B上，求点C’的坐标。

变式3图 变式4图 变式5图

变式6图 变式7、8图 变式9图

第六、设计反思

像以上这种一题多解与一题多变的题例，在教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起到以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力。因此，数学教学，理应向这个方向努力迈进。

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