基于核心素养的代数综合题解题教学设计

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基于核心素养的代数综合题解题教学设计

**_*学（441218） 谢某某

例 某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援某地抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶．

（1）假设每桶柴油降价x元，每天销售这种柴油所获利润为y元，求y与x之间的函数关系式；

（2）每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？

分析：第一步：理解题意，列出函数关系式．由题意可得：

（1）y＝(40－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800，即y＝－2x2＋60x＋800．

第二步：由两种方法求二次函数关系式的最值．

（1）配方法：通过配方将二次函数化成y＝a(x－h)2＋k的形式．当a＞0时，函数有最小值y＝k；当a＜0时，函数有最大值y＝k．

（2）公式法．利用顶点坐标公式，可知a＞0时，函数有最小值y＝
；a＜0时，函数有最大值y＝
．

在此引导学生观察（1）中函数关系式，用配方法解（2），得y＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1250．所以当x＝15时，y有最大值1250．

第三步：检验结果的合理性．

由于每桶柴油盈利40元，每桶最多可降价40元，15＜40，故x＝15符合实际问题，所以每桶柴油降价15元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润．

此时，1250－40×20＝450，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利450元．

学生完成求解过程．

小结反思：用二次函数求最优问题最关键的有三步：（1）列出二次函数关系式；（2）选择合适的方法求二次函数的最值；（3）验证是否符合实际问题．特别注意的是一定要对所求的最值进行验证．

那么为何要强调“验证”呢？请完成下面题目：

变式练习：某商品的进价为每件20元，售价为
每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．

（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案.

方案A：每件商品涨价不超过5元；

方案B：每件商品的利润至少为16元．

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

学生独立完成解答。

附答案如下：

解：（1）根据题意得：w＝(25＋x－20)(250－10x)，

即：w＝－10x2＋200x＋1250(0≤x≤25)．

（2）∵－10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，

当x＝－
＝－
＝10时，销售利润最大．

此时销售单价为：10＋25＝35（元）

答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．

（3）由（2）可知，抛物线对称轴是直线ｘ＝10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小．

方案A：根据题意得x≤5，

∴0≤x≤5．

当x＝5时，利润最大，最大利润为w＝－10×52＋200×5＋1250＝2000（元）．

方案B：根据题意得，25＋x－20≥16，∴x≥11．∴11≤x≤25．

∴当x＝11时，利润最大，最大利润为w＝－10×112＋200×11＋1250＝2240（元）．

∵2240＞2000，

∴综上所述，方案B的最大利润更高．

小结反思：对于第（3）问，如果对自变量x的范围不作讨论、求解，就不会发现x＝10不合题意，从而错误的认为两种方案的最大利润都是第（2）问条件下的最大利润
＝
＝2250（元），所以一定要对所求的最值进行验证．可见，解决最优类二次函数实际问题，当所得抛物线的顶点的横坐标符合实际情景中的自变量取值范围时，就直接由顶点的纵坐标求得最值，否则，就要结合抛物线的对称轴一侧的增减性讨论、求解最值．

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