几何概率

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专题：几何概型

黄骅中学：孔某某

1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率；

2.了解几何概型的意义.

1.对几何概型的考查是高考的重点；

2.题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等问题相结合.

1.几何概型

(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

__________________成比例,则称这样的概率模型为几何概率

模型,简称几何概型.

(2)特点：

①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_______个.

②等可能性：每个基本事件出现的可能性______.

长度(面积或体积)

无限多

相等

【即时应用】

(1)思考：古典概型与几何概型有何区别？

提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有无限个.

(2)判断下列概率模型，是否是几何概型(请在括号中填写“是”或“否”)

①在区间［－10,10］内任取一个数，求取到1的概率； ( )

②在区间［－10,10］内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ( )

③在区间［－10,10］内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ( )

④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率. ( )

【解析】①中概率模型不是几何概型，虽然区间［－10,10］有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；

②中概率模型是几何概型，因为区间［－10,10］和［－1,1］上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性).

③中概率模型不是几何概型，因为在区间［－10,10］内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；

④中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性.

答案：①否 ②是 ③否 ④是

2.几何概型的概率公式

P(A)=_________________________________________

【即时应用】

(1)有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取

0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_______.

(2)在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值

均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构

成的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是

_________.

(3)在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋ ＋1＝0无实根}中

随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为_______.

【解析】(1)P＝

(2)如图：区域F表示边长为4的正方形

ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位

圆及其内部，因此P＝

(3)由于XXXXX＝m2－4( ＋1)<0，得－1<m<4，若使lgm有意

义，必须使m>0.

在数轴上表示为 ，故所求概率为

答案：(1)0.05 (2) (3)

与长度(角度)有关的几何概型

【方法点睛】1.与长度有关的几何概型

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为

P(A)=

2.与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段.

【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出,而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.

【例1】(1)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个

点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概

率为_____________.

(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与

线段AB交于点D，则AD<AC的概率为___________.

【解题指南】(1)问题可转化为：直径上到圆心O的距离小于

的点构成的线段长与直径长之比.(2)要使AD<AC，可先找到

AD=AC时∠ACD的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的

概率公式求解即可.

【规范解答】(1)记事件A为“弦长超过

圆内接等边三角形的边长”，如图，不

妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE

上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦

为CD时，就是等边三角形的边长，弦长

大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小

于OF(此时F为OE的中点)，

由几何概型概率公式得：P(A)=

答案:

(2)射线CD在∠ACB内是均匀分布的，

故∠ACB＝90XXXXX可看成试验的所有结果

构成的区域，在线段AB上取一点E，使

AE＝AC，则∠ACE＝ ＝67.5XXXXX，可看成事件构成的区

域，所以满足条件的概率为

答案:

【互动探究】若将本例(1)中条件改为“从圆周上任取两点，连接两点成一条弦”，其他条件不变，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.

【解析】记事件A为“弦长超过圆内接正三角形边长”.如图，

取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E

在劣弧 上时，|BE|>|BC|，而劣弧 的长恰为圆周长的

由几何概型概率公式有P(A)＝

【反思XXXXX感悟】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为***的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.

【变式备选】1.在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段

AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2到81 cm2之

间的概率为( )

(A) (B) (C) (D)

【解析】选C.正方形的面积介于36 cm2到81 cm2之间，所以正

方形的边长介于6 cm到9 cm之间.线段AB的长度为12 cm，则所

求概率为

2.在区间［-1，1］上随机取一个数x， 的值介于0到

之间的概率为( )

(A) (B) (C) (D)

【解析】选A.在区间[-1，1]上随机取一个数x,即x∈[-1,1],

要使 的值介于0到 之间,需使 或

∴-1≤x≤ ≤x≤1，区间长度为 由几何

概型知 的值介于0到 之间的概率为

与面积(体积)有关的几何概型

【方法点睛】1.与面积有关的几何概型问题

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：

2.与体积有关的几何概型问题

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：

【例2】(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角

形的边长都是 cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格

上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为_______.

(2)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，

则使四棱锥M－ABCD的体积小于 的概率为________.

【解题指南】(1)硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中

心到三角形各边(格线)的距离都大于1，在等边三角形内作三

条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形，当

硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币

与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问

题.

(2)先根据四棱锥M－ABCD体积等于 时M的位置，再找出体积

小于 时M的位置.

【规范解答】(1)记E＝“硬币落下后与格

线没有公共点”，如图所示.小三角形的

边长为

∴P(E)＝

答案:

(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，则 XXXXX

S四边形ABCDXXXXXh=

又S四边形ABCD=1，∴h=

若体积小于 则h< 即点M在正方体的下半部分，

∴P=

答案:

【互动探究】本例(2)中条件不变，

①求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率；

②求M落在三棱锥B－A1B1C1内的概率.

【解析】V正方体＝1，

①∵V三棱柱= XXXXX12XXXXX1=

∴所求概率P1=

②∵V三棱锥= XXXXXB1B

= XXXXX12XXXXX1=

∴所求概率P2=

【反思XXXXX感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例(1)中“在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形”；(2)中先找出满足条件时临界值M的位置，再寻求事件构成的区域.

【变式备选】设－1≤a≤1，－1≤b≤1，则关于x的方程x2＋ax＋b2＝0有实根的概率是( )

(A) (B) (C) (D)

【解析】选B.由题意知该方程有实根满足条件

作平面区域如图，故方程x2+ax+b2=0

有实根时，(a,b)对应的平面区域为

如图阴影部分,由 得A(1, ),

由 得B(1, ),故S阴影=2S△OAB=

=1,所以由几何概型得所求概率P=

生活中的几何概型问题

【方法点睛】生活中的几何概型度量区域的构造

将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域.

【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.

【例3】(2012XXXXX*_**甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

【解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上.

【规范解答】这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y－x≥1或x－y≥2,

x∈［0,24］,y∈［0,24］}.

A为图中阴影部分，全部结

果构成集合XXXXX为边某某24

的正方形.所求概率为

P(A)=

【反思XXXXX感悟】解答本题的关键是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题.

【变式训练】甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车某某，求甲、乙乘同一车的概率.

【解析】设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)***画出(如图所示)是大正方

形.将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同

一班车，必须满足

即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小

正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P＝ 即

甲、乙乘同一车的概率为

【易错误区】对几何图形认识不清致误

【典例】(2011XXXXX**_*小波通过做游戏的方式来确定周末

活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大

于 则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 则去打篮

球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_____.

【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率.

【规范解答】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B，“不在家看书”为事件C.

∴P(C)=P(A)+P(B)=

答案：

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：

1.(**_*如图，矩形ABCD中，

点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随

机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概

率等于( )

(A) (B) (C) (D)

【解析】选C.由题意知，P=

2.(**_*已知圆C：x2+y2=12,直线l：4x+3y=25.

(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；

(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为______.

【解析】(1)x2+y2=12的圆心(0,0)到直线4x+3y=25的距离为：

(2)作一条与4x+3y=25平行而且与4x+3y=25的距离为2的直线交

圆于A，B两点，则|CA|=|CB|= |AB|=

∴∠ACB=60XXXXX,

∴概率为P=

答案：(1)5 (2)[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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