1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程

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1.5.1　曲边梯形的面积

1.5.2　汽车行驶的路程知识点一　曲边梯形的面积思考1　如何计算下列两图形的面积？答案　①直接利用梯形面积公式求解.

②转化为三角形和梯形求解.思考2　如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案　已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.思考3　能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).

(2)求曲边梯形面积的方法

把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形.对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示).(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.类型一　求曲边梯形的面积例1　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积.解　(1)分割(2)近似代替(3)求和(4)取极限求曲边梯形的面积

(1)思想：

(2)步骤：

(3)关键：

(4)结果：以直代曲.分割→近似代替→求和→取极限.近似代替.分割越细，面积越精确.(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如跟踪训练1　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.解　∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，

∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影.得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积.(1)分割

将区间[0,2] n等分，(2)近似代替求和(3)取极限知识点二　求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 、 、 、 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.分割近似代替求和取极限类型二　求变速运动的路程例2　当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解　将区间[1,2]等分成n个小区间，引申探究

本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的.求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.跟踪训练2　一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km).解　①分割②近似代替③求和④取极限当堂训练1.把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为√2.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于

A.只能是左端点的函数值f(xi)

B.只能是右端点的函数值f(xi＋1)

C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])

D.以上答案均正确√3.一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为√5.求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝ x2所围成的图形的面积.解　(1)分割过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)近似代替(3)求和

曲边梯形的面积为(4)取极限

曲边梯形的面积为求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤

(1)分割：n等分区间[a，b]；

(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).

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