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2.2.2对数函数概念和性质
学习函数的一般模式（方法）：
定义（解析式）
图像
性质
应用
数形结合
①定义域
②值域
③单调性
⑤奇偶性
④最值
知识结构
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个XXXXXXXXXX1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x 表示。
1
2
4
y=2x
XXXXXXXXXX
一、创设情境 引入新课
通常，我们习惯将x作为自变量，y作为函数值，所以写为对数函数：
y=log2x
（x→y，y → x）
一、创设情境 引入新课
①底数：大于0且不等于1的常数；
②真数：自变量x；
③系数： 的系数是1.
知识要点
对数函数定义：
一般地，我们把函数
(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量 ，函数的定义域是
二、讲 授 新 课
注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，对数函数的特征：
下列函数哪些是对数函数
XXXXX
XXXXX
XXXXX
XXXXX
XXXXX
√
√
判断
由之前的推广过程：
?
定义域
值域
定义域
值域
条件
条件
R
(a>0,且a≠1)
（x→y，y → x）
R
(0,+∞)
三、探究性质
(1)
(2)
列表 描点 连线
定义域 :
( 0,+∞)
值 域 :
R
增函数
在(0,+∞)上是：
探索发现:认真观察
y=log2x
的图象填写下表
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
发现:认真观察函数
的图象填写下表
定义域 :
( 0,+∞)
值 域 :
R
减函数
在(0,+∞)上是：
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
(4) 0<x<1时, y<0;
x>1时, y>0
(4) 0<x<1时, y>0;
x>1时, y<0
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(1) 定义域： (0,+∞)
(2) 值域：R
x
y
o
(1, 0)
x
y
o
（1, 0)
(5)在(0,+∞)上是减函数
(5) 在(0,+∞)上是增函数
对数函数的图象和性质
∴函数f(x)定义域为
∴函数f(x)的定义域为
log23.4
log28.5
∴ log23.4< log28.5
解法1：画图找点比高低
解法2：利用对数函数的单调性
考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）
上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
<
>
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
⑶解：当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)
上是增函数,于是
log a5.1＜log a5.9
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)
上是减函数,于是
log a5.1＞log a5.9
比较对数大小——一般步骤，如下
1.观察底数是大于1还是小于1；
（ a>1时为增函数，0<a<1时为减函数）
2.比较真数值的大小；
3.根据单调性得出结果.
你能口答吗？
变一变还能口答吗？
＜
＞
＞
＜
＜
＜
＜
＜
例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3XXXXX , log 2 0.8 .
解:
⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴ log67＞log76
⑵ ∵ log3XXXXX＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
∴ log3XXXXX＞log20.8
注: 比较两个对数的大小时. 当不能直接进行比较时, 可在两个对数中间插入一 个已知数 ( 如1或0等 ) , 间接比较两个对数的大小
分析 : （1） log aa＝1
（2） log a1＝0
小 结
对数函数的图象和性质
比较两个对数值的大小
对数函数的定义
求对数函数的定义域
练习：1.求下列函数的定义域：
{x"#x＜1}
{x"#x≥1}
由指数函数的 单调性可知：
∴从小到大的排列是：
又
解：利用对数函数的单调性可知：
课后思考？
探究下列函数图像之间有什么关系？
指数函数、对数函数图象
1
1
底数相同时，指数函数与对数函数的图像关于直线y=x对称；
o
依据 对数函数y= 3襛x和指数函数y=ax的图象关于直线y=x对称．
依据 对数函数 y= 3摇和指数函数 的图象关于直线y=x对称．
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1
0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1
(4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0
0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数；
0<a<1时,在R上是减函数
(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(2)值域：(0,+∞)
(1)定义域：R
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R
y=ax
(a>1)
y=ax
(0<a<1)
x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax (0<a<1)
x
y
o
1
指数函数、对数函数的图象和性质
〖比较〗
你
能
发
现
什
么？
1.底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。
1
y
x
o
0< c< d < 1< a < b
C d 1 a b
由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
探究对数函数
2.对数函数 的图像
（1）当a>1时， y=logax图像变化分布情况如下：
a越大图像越接近x轴
2.对数函数 的图像
思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何呢？
（2）当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况如下：
探究对数函数
a越大图像越远离x轴
对数函数的图像及其性质
一般地，对数函数 的图像和性质如下：
(0, +∞)
R
(1, 0)
单调递增函数
单调递减函数
y<0
y>0
y>0
y<0
图像越接近x轴
图像越远离x轴
(0, +∞)
R
(1, 0)
1.底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]
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