21.3 实际问题与一元二次方程（疑难分析）

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21.3 实际问题与一元二次方程

疑难分析

1．一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可以用算术方法求解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.

2．列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审:认真审题，分清题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;

（2）设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,
所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准
则.

（3）
列:就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程.

（4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意
和生活实际,再正确取舍.

（5）答:
就是写出答案．在答之前应对解得的方程进行检验,舍去不符合实际意义的解.[来源:学*科*网]

3.列一元二次方程解应用

题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方程呢?

(1)要正
确熟练地作语言与式子的互化;

(2)充分运用题目中所给的条件;

(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系;

(4)对一般应用题,可以从以下几个
方面着手寻找相等关系;

①利用题目中的关键语句作为相等关系;

②利用公式、定理作为等量关心;[来源:Zxxk.Com]

③从生活、生产实际经
验中发现等量关系.

[来源:***]

例题选讲[来源:Z#xx#k.Com]

例1 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每
天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

解：设比赛组织者应邀请x个队参赛.x个队每两个队之间都要比赛一场总共比赛的场次为
场.依题意有:

整理得:

解方程得:

根据
问题的实际意义,
不符
合题意.[来源:***ZXXK]

∴

答: 比赛组织者应邀请8个队参赛.

评注：在近年的中考试题中,常常出现一些贴近生活,生产的实际问题,解答这些
问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句“译”出来.实际问题的解不仅要满足所列方程,还应该符合题目中的每一个条件.

例2如图，在
△ABC中，∠
B=90XXXXX，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边某某B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边某某C以2cm/秒的速度
移动.

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,
经过多长时间,使△PBQ的面积为8cm2？

(2)如果P、Q
分别从A、B同时出发, 当P、Q两点运动几秒时，
有最小值，并求这个最小值.

解：(1)如图,设经过x秒后使得使△PBQ的面积为8cm2.则PB的长度为

(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意,可列方程:

解某某

经过2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离
B点4cm处;经过4秒,点P到离B点2cm处,点Q到离B点8cm处,即经过2秒或者4秒, 使
△PBQ的面积为8cm2.

(2)设经过y秒, .
则PB的长度为(6-y)cm,BQ
的长度为2ycm,根据题意,可列方程:

显然,当
时, PQ有最小值,最
小值为PQ2=
,即PQ=
,依据题意:

∴PQ=

评
注：像本例这一类动点问题一般要考查代数知识与动态几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点
,弄清点的运动特征.动态
问题,做静态分析,必要时分类讨论,列出方程.

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