奚某某 教学设计
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“方某某的根与函数的零点”教学设计
一、课题名称：方某某的根与函数的零点（第一课时）
二、科目：数学
三、教学对象：高一学生
四、课时：1课时
五、设计者： 奚某某
六、教学分析
(一)设计理念
按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。培养学生的学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣。关注各个层面的学生，启发式诱导式教学。
(二)教材分析
本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方某某的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方某某根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方某某有机的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，学习函数与方某某的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方某某的探究，对函数有进一步的认识，利用函数图象和性质来判断方某某的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方某某的近似解”和后续的学习垫底基础。因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要。
(三)学情分析
本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方某某和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
【教学目标】
1. 知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方某某根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。
2. 过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方某某为突破口，探究方某某的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.
3 .情感、态度、价值观：在函数与方某某的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．
【教学重点、难点】
1.教学重点：体会函数的零点与方某某的根之间的联系
2. 教学难点：零点存在性的判定条件。
【教学手段】
多媒体课件PPT，黑板，粉笔
【教法、学法】
在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破本科的重难点。
在学法上，精心设置了一个个问题链，并以此为主线，由浅入深，循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。
在教学手段上，我是采用多媒体课件，多媒体投影仪相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境因早课堂氛围，引发学生的兴趣。
【教学过程】
情景引入（提出问题激发学生学习兴趣）
问题1.对于数学关系式：x2－2x－3=0与y= x2－2x－3它们的含义分别如何？
问题2.方某某x2－2x－3=0的根与函数y= x2－2x－3的图象有什么关系？
问题3.我们如何对方某某f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
探究新知
知识探究1：方某某的根与函数的零点
问题1 观察下表(一)，求出表中一元二次方某某的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标
方 程
函 数
函 数
图 象
（简图）
方某某的实数根
函数的图象与轴的交点
提出疑问：方某某的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？
结论：方某某的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。
问题2 若将上面特殊的一元二次方某某推广到一般的一元二次方某某及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
方 程 的 根
函数的图象
（简图）
图象与x轴
的交点
【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。】
总结归纳，形成概念
1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方某某f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
问：零点是一个点吗？
注意：（1）函数零点是一个实数，不是一个点坐标；
（2）函数的零点也就是函数图象与x轴交点的横坐标；
（3）求零点就是求方某某f(x)=0的实数根。
2、你能说说方某某的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方某某f（x）=0有实数根
函数y=f（x）的图象与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】
【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。】
3、课堂练习：进一步理解掌握新知
求下列函数的零点。
(1)（2）（3）
小结：求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0;
(2)解方某某f(x)=0；
(3)写出零点
知识探究2：函数零点存在性原理
问题3：观察二次函数的图象：
1 .在区间上有零点______；_______，_______,
XXXXX_____0（＜或＞）．
2. 在区间上有零点______；XXXXX____0（＜或＞）．
3. 若把区间改为[2,4],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何？
思考：根据以上探索，你能得出什么结论？
结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点.
这个结论推广到一般情况下还成立吗？
给出零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c，使得f（c）=0.这个c也就是方某某f（x）=0的根
分组讨论，探究结论：为加深对零点存在定理的理解，提出一下几个问题让学生分组合作
思考1：零点唯一吗？
思考2：若只给条件f(a) XXXXX f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
思考3:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)XXXXXf(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？
思考4：若在区间（a，b）有零点时，一定有f(a)XXXXXf(b) <0吗？
（三）例题讲解
例2（教材第88页）求函数f(x)=3褁 + 2x 6 的零点个数
（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
解：用计算机或计算器作出x、 f(x)对应值表
x
XXXXX
1
2
3
4
XXXXX
f(x)
XXXXX
-4
-1.306
1.0986
3.3863
XXXXX
画出函数的图象，从列表和图象可看出，f(2)<0,f(3)>0 ，即f(2)XXXXXf(3)<0,所以函数在（2，3）内有零点。又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个
思考：①你能给出这个函数是增函数的证明吗？不用计算机或计算器，你能估算出f(2)<0 , f(3)>0吗？
②*作出函数y=lnx与y=6-2x的图象，观察两函数图象交点的横坐标与方某某lnx+2x-6=0的根的关系.
【设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．】
小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方某某的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方某某，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
课堂练习2：
1、试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，-1）内有零点.
证明：因为f(-2)=-3＜0, f(-1)=1＞0所以f(-2) XXXXXf(-1)<0
又因为函数f(x)在区间[ -2，-1 ]上的图象是连续不断的,所以函数f(x)在区间（-2，-1）内存在零点.
2.求函数f(x)= 的零点的个数？
（四）反思小结,提升能力
1.知识方面：
零点的概念，方某某的根与函数零点的关系，零点存在性定理；
2.数学思想方面：
由二次函数到一般函数，即特殊到一般的思想；函数与方某某的相互转化，即转化思想； 借助图象探寻规律，即数形结合思想
（五）作业
1.P88 练习 第1题 第2题
2.P92 习题3.1 第1题 第2题
（六）板书设计
（四）分组讨论，探究结论（零点存在性）
问题4：1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点。
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