从学科核心素养角度谈平面向量的教学分析及建议

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从学科核心素养角度谈“平面向量”的教学

（一）新课标“平面向量”的教学定位

《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出，高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线. 向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，突出了几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合，体现数学知识之间的关联，加强学生对数学整体性的理解. 向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁. 向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用. 本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题.

（二）从“数学抽象”角度谈“平面向量”教学

平面向量的概念教学中，建立一个表达形式与运算统一的完整体系，使得平面向量的教学整体化、系统化.

向量的概念对于学生来说比较陌生，难于理解，在教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比、归纳、抽象的方式，摆脱研究对象的具体内容，抛开研究对象的显性性质和隐藏性质，努力使自然现象从属于数学规律，从而形成向量的概念.

向量的代数属性源于向量是可以度量的，几何属性源于它有方向，抓住这两个主要因素，就可以进一步发展相关的概念：在有了向量的“模”的定义以后，就有零向量、单位向量的概念；考虑方向属性，就有了向量的平行、向量的共线、向量的夹角、向量的垂直；兼顾代数与几何属性，则有相等向量、相反向量的概念.

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量.

注：说清楚背景，抽象出要素，与矢量的区别：自由向量.

（2）向量的表示：

① 符号：
，
.（印刷体与手写体）

② 图形：有向线段

③ 如何表示要素？向量的长度（模）：
，
.

（3）特殊的向量：

① 零向量：长度为
的向量，方向为任意.记作：
.

② 单位向量：长度为
的向量.方向如何描述？

（4）向量的关系：

① 相等：要素都一样——长度相等，方向相同.

② 平行向量（共线向量）.

规定：零向量与任意向量平行（共线）.

问题：向量的平行（共线）是否有传递性？

例 判断下列命题的对错：

（1）长度相等方向相反的向量共线；（对）

（2）若
与
是两个单位向量，则
；（错）

（3）若向量
与向量
不共线，则
与
都是非零向量；（对）

（4）若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点、方向、长度都相同；（错）

（5）若非零向量
，
是共线向量，则
，
，
，
四点共线；（错）

（6）平行的向量一定相等；（错）

（7）不相等的向量一定不平行；（错）

（8）共线的向量一定相等.（错）

（三） 从“数学运算”角度谈“平面向量”教学

向量是代数的对象. 运算及其规律是代数学的基本研究对象. 向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（内积），向量与向量的向量积（外积）等. 向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算. 向量的运算具有一系列丰富的运算性质. 与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质. 在向量运算方面，既有以前所学运算的继承，又有运算的新发展，这就要求教师站在中学数学运算的角度，从运算的定义到运算结果的分析，再到运算律的认识及其应用，这个过程引导学生加强思考和思辨，逐步形成数学运算的全面认识.

向量的优越性在于空间中每一点的地位都是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要. 一方面，通过向量的运算可以解决几何中的问题. 比如，两直线是否垂直的问题，就可以转化为两个向量的点积是否为零的问题，这就实现了利用代数方法来解决几何问题. 另一方面，对于代数问题，通过向量可以给予几何的解释. 比如，两个向量的点积为零，那么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的等等.

在运算教学中，要关注运算背景（实际与数学）与运算法则，强调运算的结果.

1、向量的加法与减法

（1）平面向量的加法：① 力的合成（平行四边形法则）；

② 位移（三角形法则）.——具有很好的符号特征.

③ （画不出图的）
.

　　　　　　　　　　

向量加法的运算律：（1）
；（2）
.

（2）平面向量的减法：实际的需要，数学的需要.

先定义相反向量：
.然后：
.

2、数乘向量

说明：从简单的记号开始，强调运算的结果.

对于非零向量
及实数
，
表示一个向量，其长度和方向规定如下：

（1）长度：
，即等于的
绝对值与
的长度的乘积。

（2）方向：①当
时，
的方向与
的方向相同；

②当
时，
的方向与
的方向相反；

③当
时，
.

（3）规定：零向量与任意实数相乘仍为零向量.

（4）运算律：①
；②
；③
.

（5）重要的应用——向量共线的充要条件:

共线向量定理：向量
与非零向量
共线的充要条件是有且只有一个实数
使
.

这里需强调：
.

3、数量积

（1）物理背景：力做功的计算

/，功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，其中/就是/在物体位移方向上的分量的数量。

（2）数量积（内积）的定义

已知两个非零向量/与/，它们的夹角是/，则数量/叫/与/的数量积，也叫内积，记作/，即有/=//，其中/为向量/与/的夹角，//（/）叫做向量/在/方向上（/在/方向上）的投影。

/的几何意义：等于/与/在/方向上的投影/的乘积。

规定：零向量与任意向量的数量积为零

（3）数量积（内积）的运算律

已知向量/和实数/，则向量的数量积满足：

交换律 /

数乘结合律 /

分配律 /

（四） 从“逻辑推理”角度谈“平面向量”教学

平行向量基本定理刻画了实数与轴上的向量建立起一一对应的关系，就可用数值表示向量，这是向量代数化的一个重要手段，当在轴上选一定点O作为原点时，轴就成了数轴，这是一维空间，平面向量基本定理刻画了二维数组与平面上的向量建立起一一对应的关系，是平面向量坐标表示的依据，学生还将学习三维空间向量基本定理，即建立三维数组与空间向量的一一对应关系，并以此作为理论依据，研究空间中点、线、面的位置关系。这几个定理的教学深刻体现了逻辑推理的核心素养。

向量的应用，主要体现在平面几何和解析几何这两个方面，通过例题教学，总结用向量解题的一般方法，让学生体会向量的工具作用，从而建立向量与平面几何和解析几何的联系，提高学生分析问题、解决问题的能力。

例1 向量
，
，
在正方形网格中的位置如图所示.若




(
，

)，则
= .4

例2 已知点
，
，
.若平面区域D由所有满足

的点P组成，则D的面积为 .3

例3 如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，P为线段
（含端点）上一个动点，设
，
，对于函数
，给出以下三个结论：

①当
时，函数
的值域为
；

②
，都有
成立；

③
，函数
的最大值都等于4.

其中所有正确结论的序号是_________.②③

例4 已知向量
≠
，|
|＝1，对任意t∈R，恒有|
－t
|≥|
－
|，则（ ）C

A．
⊥
B．
⊥(
－
) C．
⊥(
－
) D．(
＋
)⊥(
－
)

例5 已知非零向量
满足
，比较
与
的大小？>

附录：

水平

数学抽象



水平一

能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题.

能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论，能够在熟悉的情境中抽象出数学问题.

能够了解用数学语言表达的推理和论证；能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.

在交流的过程中，能够结合实际情境解释相关的抽象概念.



水平二

能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.

能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则；理解数学命题的条件与结论；能够理解和构建相关数学知识之间的联系.

能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想.

在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象.



水平三

能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；能够在得到的数学结论基础上形成新命题；能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题.

能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构，能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系.

在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达；能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想.

在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象.





水平

逻辑推理



水平一

能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系.

能够在熟悉的数学内容中，识别归纳推理、类比推理、演绎推理；知道通过归纳推理、类比推理得到的结论是或然成立的，通过演绎推理得到的结论是必然成立的. 能够通过熟悉的例子理解归纳推理、类比推理和演绎推理的基本形式. 了解熟悉的数学命题的条件与结论之间的逻辑关系；掌握一些基本命题与定理的证明，并有条理地表述论证过程.

能够了解熟悉的概念、定理之间的逻辑关系.

能够在交流过程中，明确所讨论问题的内涵，有条理地表达观点.



水平二

能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.

能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探素论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程；能够通过举反例说明某些数学结论不成立.

能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构.

能够在交流的过程中，始终围绕主题，观点明确，论述有理有据．



水平三

能够在综合的情境中，用数学的眼光找到合适的研究对象，提出有意义的数学问题.

能够掌握常用逻辑推理方法的规则，理解其中所蕴含的思想. 对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题. 对于较复杂的数学问题，能够通过构建过渡性命题，探素论证的途径，解决问题，并会用严谨的数学语言表达论证过程.

能够理解建构数学体系的公理化思想.

能够合理地运用数学语言和思维进行跨学科的表达与交流.





水平

数学运算



水平一

能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，提出运算问题.

能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算；能够在熟悉的数学情境中，根据问题的特征形成合适的运算思路，解决问题.

在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，能够运用运算验证简单的数学结论.

在交流的过程中，能够用运算的结果说明问题.



水平二

能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.

能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.

能够理解运算是一种演绎推理；能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用.

在交流的过程中，能够借助运算探讨问题.



水平三

在综合的情境中，能够把题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向.

能够对运算问题，构造运算程序，解决问题.

能够用程序思想理解与表达问题，理解程序思想与计算机解决问题的联系.

在交流的过程中，能够用程序思想理解和解释问题.





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