李某某--3.1数系的扩充和复数的概念

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3.1.1数系的扩充和复数的概念

数系的扩充

自然数（正整数与零）

整数

有理数

实数

？

可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留

为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：

问题解决:

(1) i 2??1 ；

(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,

原有的加法与乘法的运算律仍然成立

(包括交换律、结合律和分配律).

动 动 手

下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？

一、复数的概念

　形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,

复数的代数形式

新知

　复数z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)能否表示实数？

讨 论

虚数

（纯虚数（a=0且b≠0））

　思　考

复数集与实数集、虚数集、纯虚数集

之间有什么关系？

1、复数z=a+bi

二、复数的分类

2. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系

练一练：

1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。

0，

(1)若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数.

(2)若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0.

2.判断

故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的

　　　　　　 条件.

（假）

（真）

必要不充分

想一想

如果两个复数相等，那么它们应某某　

足什么条件呢？

三、复数相等

思考

新知

注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。

若2-3i=a-3i,求实数a的值；

若8+5i=8+bi,求实数b的值；

若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。

说一说

例 1:

　完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或

　纯虚数）

例 2:

（1）

（2）

（3）

　 已知 ，

其中 求

解：根据复数相等的定义，得方程组

例 3:

当堂练习

1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部

的复数是 （ ）

A -2+3i B 3-3i

C -3+3i D 3+3i

2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的

值为 。

3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的

值为 。

2

-4

B

课堂小结

z = a + bi

(a,b∈R)

复数的分类

当b=0时z为实数;

当b?0时z为虚数

(此时,当a =0时z为纯虚数).

复数的相等

a+bi=c+di

(a, b,c,d?R)

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