《极坐标系》教学设计

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《极坐标系》教学叙事

**_*学 张欣

一、课前设计

1．预习任务

（1）阅读教材第8页至第11页，填空：

极坐标系的建立：在平面内取一个定点
，叫做极点；自极点
引一条射线
，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

极坐标系内一点的极坐标的规定：设
是平面内一点，极点
与点
的距离
叫做点
的极径，记为
；以极轴
为始边，射线
为终边的角
叫做点
的极角，记为
.有序数对
叫做点
的极坐标，记为

．一般地，不作特殊说明时，我们认为
，
可取任意实数．

（2）点与极坐标有什么关系？

一般地，极坐标
与

表示同一个点．特别地，极点
的坐标为
．

如果规定
，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标
表示；同时，极坐标
表示的点也是惟一确定的．

（3）极坐标系与直角坐标系如何转化？

把直角坐标系的原点作为极点，
轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设
是平面内任意一点,它的直角坐标是
，极坐标是
，则：

，

，

2．预习自测

（1）在极坐标系中，下列各点中与
表示的不是同一个点的是(　　)

A．
B．
C．
D．

（2）已知点
的直角坐标为
，则点
的极坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

（3）已知点M的极坐标为
，则点M的直角坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

（4）已知A、B两点极坐标为
，则线段AB中点的极坐标为________．

二、课堂设计

1．知识回顾：平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是一一对应的.

2．问题探究

探究一 结合实例，认识极坐标系

●活动① 提出问题，创设情境

如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：

(1)他向东偏北
方向走
后到达什么位置？该位置唯一确定吗？

(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

（学生回答）（1）他向东偏北
方向走
后到达是点
图书馆的位置，该位置唯一确定.（2）如果去体育馆向正东方向走
，去办公楼向北偏西
走
.

上面刻画位置是以
作为基点，并以射线
为参照方向，然后利用与
距离和与
所成角度来描述位置，例如“东偏北
，距离
”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.

在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北
方向，距离
处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.

【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.

●活动② 互动交流，类比提炼概念

我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）

平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点，以点
为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系
.

类比上述过程，我们在平面内取一个定点
，叫做极点；自极点
引一条射线
，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？

如右图2，设
是平面内一点，极点
与点
的距离
叫做点
的极径，记为
；以极轴
为始边，射线
为终边的角
叫做点
的极角，记为
.有序数对
叫做点
的极坐标，记为

．

一般地，不作特殊说明时，我们认为
，
可取任意实数．

【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其自然得到点在极坐标系中的定义.

●活动③ 巩固基础，检查反馈

例1 在极坐标系里描出下列各点.

，
,
,
,

【解题过程】根据点在极坐标的表示，
表示的是点到极点的距离，
表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图．

探究二 探究点与极坐标的对应关系

●活动① 认识差异、辨析极坐标系

在图1中，用点
分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.

我们以点
为极点，
所在的射线为极轴（单位长度为
），建立极坐标系，则
的极坐标分别为

建立极坐标系后，给定
和
，就可以在平面内惟一确定点
，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标
.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？

【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫．

●活动② 合作探究，解决问题

我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？

由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：

一般地，极坐标
和
表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.

特别地，极点
的极坐标为

如果我们规定
，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标
表示；同时，极坐标
表示的点也是惟一确定的．

探究三 实现极坐标与直角坐标的互化

●活动① 归纳梳理、理解实质

平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是
，极坐标是
，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：

这就是极坐标和直角坐标的互化公式.

【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系．

活动② 巩固基础，检查反馈

例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标

（1）
（2）

【解题过程】

（1）由
所以点的极坐标
化为直角坐标为
．

（2）由
所以点的极坐标
化为直角坐标为
．

例3 已知点B、C的直角坐标为
,
,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ

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