圆锥曲线的定义应用及离心率教案
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圆锥曲线的定义应用及离心率（教案）
一、教学内容分析
圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象。恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁。因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。
二、设计思想
由于这部分知识较为抽象,难以理解。如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我有意识地引导学生利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥。借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率。
三、教学目标
1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。
2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解， 培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法。
3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神。
四、教学重点与难点:
教学重点： 1.对圆锥曲线定义的理解；
2.熟练掌握求圆锥曲线离心率的常用方法；
3.利用圆锥曲线的定义求轨迹方程及最值问题。
教学难点:巧用圆锥曲线定义解题
五、教学过程设计
【设计思路】
由于这是一堂习题课, 加上我所任教的班级是理科班，学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以在教学中,我拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有的知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确答案，并指出学生解题方法的优缺点。
利用圆锥曲线的定义求离心率
离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题，在历年的高考中经常出现，下面通过实例介绍利用圆锥曲线定义求离心率的方法。
例1．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
（B） （C） （D）
解析：由题意可得，∠=30°，
所以，在△中，不妨设=1，则=，=2
有双曲线的定义可得：e=，选D
例2. 设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点A、B．若△为正三角形，则该双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
分析：∴选B
练习：
1.如图，F1和F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为 .
2.双曲线的两个焦点分别是，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，该双曲线的离心率是（ ）
A B C D
（二）利用圆锥曲线的定义求轨迹问题
引子：已知椭圆的焦点是F1和F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么动点Q的轨迹是________．
解析：由于P是椭圆上的点，故有PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)．∵PQ＝PF2，F1Q＝F1P＋PQ，
∴F1Q＝PF1＋PF2＝2a.∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．
答案：以F1为圆心，PF1＋PF2为半径的圆。
例3.
解析：由题意得，
所以，点P的轨迹方程为
例4. 已知F１、F２是椭圆 （a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析：延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A
在等腰三角形APF1中，
∴选A
练习：设点Q是圆C：上动点,点A（1，0）是圆内一点,AQ的垂直平分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程。
引申:若将点A移到圆C外,点M的轨迹会是什么?
（三）利用圆锥曲线的定义求最值问题
运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题化归为几何中求最大（小）值的模式，是解析几何问题中的一种常见题型，也是学生们比较容易混淆的一类问题。
例5. 已知点，是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，则的最小值为
解析：如图1，，点在椭圆的内部，连接并向两端延长与椭圆分别交于两点，，
由三角形两边之差小于第三边（两边之和大于第三边）可得
，
当且仅当分别位于，点时取等号，，
故，
，
则的最小值为．
反思：上面的解答过程不仅求出了最小值，也一并求得了最大值，类似的通过定义转化为“线段”以求出最大（小）的例子，在高考中比比皆是．
例6.已知，抛物线上的动点，若到的距离为，到抛物线准线的距离为，求的最小值及此时的坐标．
解析：注意到在开口的外部（如图4），且（为的焦点），因此（当共线时有最小值），此时的坐标是．
练习：已知点F是椭圆的右焦点，M是这椭圆上的动点，A（2，2）是一个定点，求|MA|+|MF|的最小值。
课时小结
1．定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式，对定义的深刻理解是提高解题能力的坚实基础。在圆锥曲线中，有相当多的问题是可以化归到运用定义而得以简捷求解的。
2．圆锥曲线的定义是根本，熟练灵活的利用圆锥曲线的定义解决离心率、轨迹问题及最值问题。
七、作业
1.已知点P（－2，3）及焦点为F的抛物线，在抛物线上求一点M，使|PM|+|FM|最小。
2．已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最小值与最大值。
3.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
八、教学反思
本课将借助于“POWERPOINT课件”，利用例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生思维的深刻性、创造性、科学性、批判性,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法,领略数学的统一美.“电脑多媒体课件”的介入，将使全体学生参与活动成为可能，使原来令人难以理解的抽象的数学理论变得形象，生动且通俗易懂。
为了在课堂上留给学生足够的空间.我将几类题型作了处理——将“定义法求轨迹问题”分置于练习中，循序渐进的让学生把握这类问题的解法；将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题，方便学生进行比较、分析。
总之,如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念——在教学中适度使用多媒体技术，让学生有参与教学实践的机会，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力。
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