7.3 向量的内积

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第七章　平面向量

7.3　向量的内积

***学

创设情境　兴趣导入

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，

那么，这个人做了多少功？

做功等于力与在力的方向上移动

的距离的乘积．力F是水平方向的力

与垂直方向的力的和，垂直方向上

没有产生位移，没有做功，水平方向

上产生的位移为s，即

动脑思考　探索新知

这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由

两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与

向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．

a与向量b的夹角，记作<a，b>．

两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b

的内积，记作aXXXXXb， 即

aXXXXXb＝|a||b|cos<a，b> (7.10)

由内积的定义可知

aXXXXX0＝0, 0XXXXXa＝0.

动脑思考　探索新知

动脑思考　探索新知

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：

动脑思考　探索新知

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：

aXXXXXb＝bXXXXXa.

(a＋b)XXXXXc＝aXXXXXc＋bXXXXXc.

巩固知识　典型例题

例1　 已知|a|＝3,|b|＝2, <a，b>＝60XXXXX，求aXXXXXb．

解 aXXXXXb＝|a||b| cos <a，b> ＝3XXXXX2XXXXXcos 60XXXXX＝3．

巩固知识　典型例题

由于 0≤<a,b>≤180XXXXX，

运用知识　强化练习

1. 已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60XXXXX，求aXXXXXb．

2. 已知aXXXXXa＝9,求|a|.

3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝30XXXXX，求(2a＋b)XXXXXb ．

动脑思考　探索新知

设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故iXXXXXj ＝0,

又| i |＝|j|＝1,所以

aXXXXXb＝(x1 i＋y1j)XXXXX (x2 i＋y2j)

＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j

＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2

＝ x1 x2＋ y1 y2.

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，

即

aXXXXXb＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　 (7.11)

(7.12)

动脑思考　探索新知

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.

由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，

巩固知识　典型例题

解 　(1) aXXXXXb＝2XXXXX1＋(?3)XXXXX3＝?7；

(2) aXXXXXb＝2XXXXX1＋(?1)XXXXX2＝0；

(3) aXXXXXb＝2XXXXX(?2)＋2XXXXX(?3)＝?14．

巩固知识　典型例题

例4　已知a＝(?1,2)，b＝(?3,1)．求aXXXXXb, |a|,|b|, <a,b>．

解 aXXXXXb＝(?1)(?3)＋2XXXXX1＝5.

巩固知识　典型例题

例5　判断下列各组向量是否互相垂直：

(1) a＝(?2, 3),　　b＝(6, 4)；

(2) a＝(0, ?1),　　b＝(1, ?2)．

解 (1) 因为aXXXXXb＝(?2)XXXXX6＋3XXXXX4＝0，所以a⊥ b．

(2) 因为aXXXXXb＝0XXXXX1＋(?1)XXXXX(?2)＝2，

所以a与b不垂直．

运用知识　强化练习

1.已知a＝(5,?4)，b＝(2,3)，求aXXXXXb．

2.已知a＝(2, ?3)，b＝(3, ?4)，c＝( ?1,3),求aXXXXX(b＋c)．

自我反思　目标检测

自我反思　目标检测

继续探索　活动探究[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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