三角函数三角函数线及其应用的教学设计

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三角函数·三角函数线及其应用教学设计

? ***学? 柴某某

?

教学目标

1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题．

2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力．

3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性．

教学重点与难点

三角函数线的作法与应用．

教学过程设计

一、复习

师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、是如何定义的？

生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是

师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？

(师生共同完成)

师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？

生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关．

师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．

二、新课

1．单位圆

师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？

（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）

（板书）

2．有向线段

师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．

师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？

生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜．

师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．

生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．

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（图中的线段随教学过程逐渐添加．）

3．三角函数线

（1）正弦线——MP

（2）余某某——OM

（3）正切线——AT

利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．

（板书）

4．三角函数线的应用

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．

（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）

（画出同一个角的两种三角函数线）．

（板书）

例２．利用单位圆寻找适合下列条件的0(到360(的角.

．

分析：

P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为

?

（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合

三、小结及作业

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确．

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